Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe/2/Lösung

Sei $a\in R^{\star }$ Einheit von $R$. Dann existiert ein $b\in R^{\star }$ mit $a\cdot b=1_R$. Sei nun $p_a=a\cdot X^0,p_b=b\cdot X^0\in R\left[X\right]$. Dann ist $p_a\cdot p_b=a\cdot b\cdot X^0=1_R\cdot X^0=1_{R\left[X\right]}$. Also ist $R^{\star }\subset R{\left[X\right]}^{\star }$.

Sei $p,q\in R{\left[X\right]}^{\star },\mathrm{deg}p=n,\mathrm{deg}q=m$ und $p\cdot q=1_{R\left[X\right]}$. Mit $p=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k$ und $q=\sum _{k=0}^m{b}_k{X}^k$ ist das Produkt von $p$ und $q$

$p\cdot q=\sum _{k=0}^{n+m}{c}_k{X}^k$

mit

$c_k=\sum _{i=0}^k{a}_i{b}_{k-i}.$

So gilt für den Leitkoeffizienten $c_{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}{a}_i{b}_{n+m-i}$. Es ist aber $b_{n+m-i}=0$ für alle $i<n$ und $a_i=0$ für alle $i>n$. Also ist $c_{n+m}=a_n{b}_m$. Da $R$ Integritätsbereich, also nullteilerfrei ist, ist somit $c_{n+m}\ne 0$ und damit $\mathrm{deg}p\cdot q=n+m$. Daher ist $p\cdot q\ne 1_{R\left[X\right]}$, falls $n>0$ oder $m>0$ Also sind die Einheiten von $R\left[X\right]$ Polynome vom Grad $0$. Also gilt für $p$ und $q$ wie oben, dass $n=m=0$ und somit $1_{R\left[X\right]}=p\cdot q=a_0{b}_0{X}^0$, also $a_0{b}_0=1_R$. Und damit gilt $R{\left[X\right]}^{\star }\subset R^{\star }$.

$◻$