Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/9+i

Primfaktorzerlegung von $9+i$ in $\mathbb{Z}[i]$:

$N(9+i)=(9+i)(9-i)=82=2\cdot 41=2^1\cdot (5+4i)(5-4i)$

$5+4i$ und $5-4i$ sind prim, weil $N(5+4i)=N(5-4i)=41$ prim in $\mathbb{Z}$

Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $9+i$ teilen lässt:

$\frac{9+i}{5-4i}=\frac{(9+i)(5+4i)}{(5-4i)(5+4i)}=\frac{41+41i}{4}1=1+i$

$\Rightarrow 9+i=(1+i)\cdot (5-4i)$

Wobei $1+i$ und $5-4i$ prim sind.