Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis2

Wenn die Exponentbedingung erfüllt ist, so its $s_i-r_i\ge 0$ und man kann schreiben

$b=v{u}^{-1}{p}_1^{s_1-r_1}\cdots p_k^{s_k-r_k},$

was die Teilbarkeit bedeutet. Sei umgekehrt $b=ac$. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $\sum _{i=1}^k{r}_i$, also über die Länge der Primfaktorzerlegung. Fixiere ein $i$ bzw. $p_i$. Bei $r_i=0$ ist nichts zu zeigen, sei also $r_i\ge 1$. Dann ist $a$ ein Vielfaches von $p_i$ und damit ist auch $b$ ein Vielfaches von $p_i$. Da $p_i$ zu allen $p_j$, $j\ne i$, teilerfremd sind, gilt nach dem Lemma von Euklid, dass $p_i|p_i^{s_i}$. Also ist $s_i\ge 1$ und wir können beidseitig mit $p_i$f kürzen und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.