Affine Abbildung

Definition - affine Abbildung

Eine Abbildung $f:A\to B$ zwischen affinen Räumen Bezi$(A,V_A)$ und $(B,V_B)$ heißt affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung $\phi :V_A\to V_B$ zwischen den zugehörigen Vektorräumen gibt, so dass

$\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\phi \left(\overrightarrow{PQ}\right)$

für alle Punkte $P,Q\in A$ gilt. Dabei bezeichnen $\overrightarrow{PQ}\in V_A$ und $\overrightarrow{f(P)f(Q)}\in V_B$ die Verbindungsvektoren der Urbild- bzw. der Bildpunkte.

Verschiebung

In dem wichtigen Anwendungsfall, dass $A=V_A$ und $B=V_B$ gilt, ist eine Abbildung $f:A\to B$ bereits dann eine affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung $\phi :V_A\to V_B$ gibt mit

$f(P)=f(0)+\phi (P)$

für alle $P$ in $A$. In diesem Fall entsteht eine affine Abbildung also durch eine Translation einer linearen Abbildung mit dem Bild $f(0)$ des Nullpunkts.

Aufgabe für Studierende

• Welcher Zusammenhang besteht zwischen affinen Abbildung und linearen Gleichungssystemen $A\cdot x=b$ mit $A\in Mat(m\times n,ℝ)$, $x\in {ℝ}^n$ und $b\in {ℝ}^n$?

Siehe auch

• affiner Raum

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• Affine Abbildung https://de.wikipedia.org/wiki/Affine%20Abbildung
• Datum: 20.6.2024
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