Kurs:Quantencomputing/Register

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Zwei Qubits

Register mit 2 Qubits

Der Zustand von zwei Qubits wird durch einen Vektor des ${ℂ}^4$ mit der Basis

$|00⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)|01⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)|10⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)|11⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

beschreiben. Zusammenfassend wird diese durch

$|X⟩X\in \{0,1{\}}^2=\{00,01,10,11\}$

ausgedrückt. Ein System, dass aus mehreren Qubits besteht wird als Register bezeichnet und durch $|R⟩$ gekennzeichnet. Ein Register aus Zwei-Qubits kann sich im normierten Zustand

$|R_2⟩={\gamma }_{00}|00⟩+{\gamma }_{01}|01⟩+{\gamma }_{10}|10⟩+{\gamma }_{11}|11⟩$

befinden. Zur Normierung muss

$\Vert |R_2⟩{\Vert }^2=⟨R_2|R_2⟩=|{\gamma }_{00}{|}^2+|{\gamma }_{01}{|}^2+|{\gamma }_{10}{|}^2+|{\gamma }_{11}{|}^2=1$

erfüllt sein.

Tensorprodukt für 2 Qubits

Auch der Zustand zweier Qubits, die zunächst nichts miteinander zu tun haben, muss durch ein Register auszudrücken sein. Sind die beiden Qubitzustände

$|x_0⟩={\alpha }_0|0⟩+{\beta }_0|1⟩=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_0\\ {\beta }_0\end{array}\right)$

und

$|x_1⟩={\alpha }_1|0⟩+{\beta }_1|1⟩=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\beta }_1\end{array}\right)$

gegeben, wird das Tensorprodukt passend zur obigen Basis durch

$|x_1{x}_0⟩=|x_1⟩|x_0⟩=|x_1⟩\otimes |x_0⟩=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\beta }_1\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}{\alpha }_0\\ {\beta }_0\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{c}{\alpha }_1{\alpha }_0\\ {\alpha }_1{\beta }_0\\ {\beta }_1{\alpha }_0\\ {\beta }_1{\beta }_0\end{array}\right)$

definiert.

Das Tensorprodukt ist mit dem Skalarprodukt verträglich. So gilt für die Zustände $|x_1{x}_0⟩$ und $|y_1{y}_0⟩$ auch

$⟨y_1{y}_0|x_1{x}_0⟩=⟨y_1|x_1⟩\cdot ⟨y_0|x_0⟩$

Ein Register kann sich auch in einem Zustand befinden, der sich nicht als Tensorprodukt ausdrücken lässt. Ein Beispiel hierfür ist

$|R_2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$

Solche Zustände heißen verschränkt.

Messung von Registern

Bei Messungen eines einzelnen Qubits, bspw. des Qubits 0, wird ein Projektor $P$ mit der Eigenschaft $P^2=P$ angewendet. Da nur die Zustände $|0⟩$ und $|1⟩$ gemessen werden können sind nur die Projektoren

$P_0^{(k)}=|0{⟩}_k⟨0{|}_k{P}_1^{(k)}=|1{⟩}_k⟨1{|}_k$

von interessen, bei denen $k$ angibt, welches Qubit gemessen wird. Die Wahrscheinlichkeit an einem Register im Zustand $|R_2⟩$ für das Qubit $k$ den Zustand $ϵ\in \{0,1\}$ zu messen ist durch

$P(k,ϵ)=\Vert P_{ϵ}^{(k)}|R_2⟩{\Vert }^2$

gegeben. Das System befindet sich nach der Messung im Zustand

$|R_2^{\text{'}}⟩=\frac{P_{ϵ}^{(k)}|R_2⟩}{\Vert P_{ϵ}^{(k)}|R_2⟩\Vert }$

Operationen auf Registern auf 2 Qubits

Wird auf Qubit 1 die Operation $A$ und auf Qubit 0 die Operation $B$ angewendet, so lässt sich dies mittels des Tensorprodkts durch eine $4\times 4$-Matrix darstellen. Diese ist durch

$A\otimes B=\left(\begin{array}{cc}{A}_{00}& A_{01}\\ A_{10}& A_{11}\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}{B}_{00}& B_{01}\\ B_{10}& B_{11}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_{00}B& A_{01}B\\ A_{10}B& A_{11}B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{00}{B}_{00}& A_{00}{B}_{01}& A_{01}{B}_{00}& A_{01}{B}_{01}\\ A_{00}{B}_{10}& A_{00}{B}_{11}& A_{01}{B}_{10}& A_{01}{B}_{11}\\ A_{10}{B}_{00}& A_{10}{B}_{01}& A_{11}{B}_{00}& A_{11}{B}_{01}\\ A_{10}{B}_{10}& A_{10}{B}_{11}& A_{11}{B}_{10}& A_{11}{B}_{11}\end{array}\right)$

definiert. Da das Tensorprodukt mit dem Skalarprodukt verträglich ist, lässt sich mit den Zuständen $|x_1{x}_0⟩$ und $|y_1{y}_0⟩$ auch

$⟨y_1{y}_0|A\otimes B|x_1{x}_0⟩=⟨y_1|A|x_1⟩\cdot ⟨y_0|B|x_0⟩$

finden.

Es gibt auch hier Operationen, die sich nicht als Tensorprodukt darstellen lassen. Ein wichtiges Beispiel ist das CNOT-Gatter. Es lässt sich in qiskit durch

cx(<qubit x1>, <qubit x0>)

aufrufen und ist durch die Matrix

$C_X=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& X\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

definiert. Auf den Zustand

$|x_1{x}_0⟩=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1{\alpha }_0\\ {\alpha }_1{\beta }_0\\ {\beta }_1{\alpha }_0\\ {\beta }_1{\beta }_0\end{array}\right)$

hat es die Wirkung

$C_X|x_1{x}_0⟩=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1{\alpha }_0\\ {\alpha }_1{\beta }_0\\ {\beta }_1{\alpha }_0\\ {\beta }_1{\beta }_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1{\alpha }_0\\ {\alpha }_1{\beta }_0\\ {\beta }_1{\beta }_0\\ {\beta }_1{\alpha }_0\end{array}\right)$

Ist das Bit $x_1$ im Zustand $|1⟩$, so wird ein Bitflip auf dem Bit $x_0$ ausgeführt. Daher wird das CNOT-Gatter als bedingte Negation bezeichnet. Es wird auch häufig durch

$C_X|x_1⟩|x_0⟩=|x_1⟩|x_1\oplus x_0⟩$

ausgedrückt, sofern $x_1,x_0\in \{0,1\}$ sind. Hierbei ist $\otimes$ das exklusive oder.

Wie bei der Anwendung auf einzelne Qubits kann das Hintereinanderanwenden durch Matrixmultiplikationen bestimmt werden. So kann bspw.

$C_X(H\otimes I)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& I\\ I& -I\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}I& I\\ X& -X\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1\\ 1& 0& -1& 0\end{array}\right)$

gefunden werden. Auf ein Register im Zustand $|x_1{x}_0⟩=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1{\alpha }_0\\ {\alpha }_1{\beta }_0\\ {\beta }_1{\alpha }_0\\ {\beta }_1{\beta }_0\end{array}\right)$ hat dies die Wirkung

$C_X(H\otimes I)|x_1{x}_0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1\\ 1& 0& -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1{\alpha }_0\\ {\alpha }_1{\beta }_0\\ {\beta }_1{\alpha }_0\\ {\beta }_1{\beta }_0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}({\alpha }_1+{\beta }_1){\alpha }_0\\ ({\alpha }_1+{\beta }_1){\beta }_0\\ ({\alpha }_1-{\beta }_1){\beta }_0\\ ({\alpha }_1-{\beta }_1){\alpha }_0\end{array}\right)$

Wirkend auf die Basiszustände $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$ können so die Zustände

$|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩=C_X(H\otimes I)|00⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)|{\mathrm{\Phi }}^{-}⟩=C_X(H\otimes I)|10⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩-|11⟩)$

und

$|{\mathrm{\Psi }}^{+}⟩=C_X(H\otimes I)|01⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩+|10⟩)|{\mathrm{\Psi }}^{-}⟩=C_X(H\otimes I)|10⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩-|10⟩)$

gefunden werden. Diese werden als Bell-Basis bezeichnet und spielen bei der Quantenkryptographie und den Bell'schen Ungleichungen eine wichtige Rolle.

Damit zeigt sich, dass das CNOT-Gatter benutzt werden kann, um Qubits miteinander zu verschränken. Es ist dabei aber zu beachten, dass dies nich für jeden beliebigen Zustand der Fall ist. So ist bspw. $C_X|00⟩=|00⟩$ kein verschränkter Zustand.

Verallgemeinerungen auf mehrere Qubits

Die oben aufgeführten Begriffe lassen sich auf mehrere Qubits verallgemeinern. Werden $n$ Qubits betrachtet, so müssen Vektoren aus dem ${ℂ}^N$ mit $N=2^n$ verwendet werden. Als Basis wird $|X⟩$ mit $X\in \{0,1{\}}^n$ gewählt. Ein solche Ansammlung von $n$ Qubits wird als Register und dessen Zustands mit $|R_n⟩$ bezeichnet. Der Zustandsvektor muss durch

$|R_n⟩=\sum _{X\in \{0,1{\}}^n}{c}_X|X⟩$

mit

$\Vert |R_n⟩{\Vert }^2=\sum _{X\in \{0,1{\}}^n}|c_X{|}^2=1$

gegeben sein.

Sind für $n$ Qubits die Zustände $|x_k⟩$ mit $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$ bekannt, so kann der Zustand des Registers durch das Tensorprodukt

$|R_n⟩=\underset{k=0}{\overset{n}{⨂}}|x_k⟩=|x_{n-1}⟩\otimes |x_{n-2}⟩\otimes \cdots \otimes |x_1⟩\otimes |x_0⟩=|x_{n-1}{x}_{n-2}\dots x_1{x}_0⟩$

bestimmt werden. Das Tensorprodukt ist dabei gemäß

$⟨y_{n-1}\dots y_0|x_{n-1}\dots x_0⟩=\prod _{k=0}^{n-1}⟨y_k|x_k⟩=⟨y_{n-1}|x_{n-1}⟩\cdot ⟨y_{n-2}|x_{n-2}⟩\cdots ⟨y_1|x_1⟩\cdot ⟨y_0|x_0⟩$

mit dem Skalarprodukt verträglich.

Werden Operationen auf die einzelnen Qubits ausgeführt, lässt sich auch dies durch das Tensorprodukt von Operatoren beschreiben. Mit dem Operator

$\underset{k=0}{\overset{n-1}{⨂}}{A}_k=A_{n-1}\otimes A_{n-1}\otimes \cdots \otimes A_1\otimes A_0$

und den Baisiszuständen $|X⟩$, $|Y⟩$ mit $X,Y\in \{0,1{\}}^n$ lässt sich so

$A=\sum _{X,Y\in \{0,1{\}}^n}|Y⟩⟨Y|A|X⟩⟨X|$

mit

$⟨Y|A|X⟩=⟨y_{n-1}\dots y_0|A|x_{n-1}\dots x_0⟩=\prod _{k=0}^{n-1}⟨y_k|A_k|x_k⟩=⟨y_{n-1}|A_k|x_{n-1}⟩\dot{⟨}{y}_{n-2}|A_k|x_{n-2}⟩\cdots ⟨y_1|A_k|x_1⟩\cdot ⟨y_0|A_k|x_0⟩$

bestimmen.

Prinzipiell könnten auch Operationen definiert werden, die sich nicht als solch ein Tensorprodukt schreiben lassen. Es wird in der Informatik allerdings häufig der Begriff der Lokalität eingeführt. Ein Gatter wird als lokal bezeichnet, wenn es höchstens 3 Qubits miteinander verschränkt. (Dadurch lassen sich Algorithmen einfacher analysieren. Prinzipiell würden bereits 2 Qubits reichen, jedoch gibt es das sogennante Toffoli-Gatter, das es erlaubt Operationen wie UND oder die Negation auf einfache Weise zu implimentieren. Dieses benötigt aber 3 Qubits.)

Hadamard-Transformtion auf Register

Die Hadamard-Transformation auf $n$ Qubits wird durch

$H_n=\underset{n\mathrm{-}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}}{\underbrace{H\otimes H\otimes \cdots \otimes H}}=\underset{k=0}{\overset{n-1}{⨂}}H$

definiert. Da die einfache Hadamard-Transformation auf die Basiselemente $x\in \{0,1\}$ die Wirkung

$H|x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+(-1{)}^x|1⟩)$

hat, kann die Hadamard-Transformation $H_n$ bei Wirkung auf die Basiselemente $|X⟩$ mit $X\in \{0,1{\}}^n$ durch

$H_n|X⟩=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\underset{k=0}{\overset{n-1}{⨂}}(|0⟩+(-1{)}^{x_k}|1⟩)$

ausgedrückt werden. Damit lässt sich auch direkt

$H_n|0\dots 0⟩=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\underset{k=0}{\overset{n-1}{⨂}}(|0⟩+|1⟩)=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{Y\in \{0,1{\}}^n}|Y⟩$

finden, was als gleichgewichtige Superposition bezeichnet wird und ein häufiger Startpunkt für einen Quantenalgorithmus ist. Es lässt sich auch zeigen, dass

$H_n|X⟩=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{Y\in \{0,1{\}}^n}(-1{)}^{X\cdot Y}|Y⟩$

mit

$X\cdot Y=\underset{k=0}{\overset{n-1}{⨁}}{x}_k\cdot y_k=(\sum _{k=0}^{n-1}{x}_k\cdot y_k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2$

gilt.

${\displaystyle }$

Aufgaben

• Bestimme den Zustandsvektor $|+⟩\otimes |-⟩$.
• Ist der Zustand

$|x_1{x}_0⟩=|x_1⟩\otimes |x_0⟩$

normiert, wenn $|x_1⟩$ und $|x_0⟩$ normiert sind?

• Wie wahrscheinlich ist es im Zustand

$|R_2⟩=\sqrt{\frac{1}{8}}|00⟩+\sqrt{\frac{3}{8}}|01⟩+\sqrt{\frac{2}{8}}|10⟩-\sqrt{\frac{2}{8}}|11⟩$

das Qubit 0 im Zustand $|1⟩$ zu messen? In welchen Zustand geht das Register über?

• Bestimme die Matrizen $I\otimes I$, $H\otimes I$ und $H\otimes H$
• Bestimme die Wirkung von $C_X$ auf die Basisvektoren $|X⟩$ mit $X\in \{0,1{\}}^2$.
• Bestimme den Zustand

$|\mathrm{\Psi }⟩=|x_2⟩|x_1⟩|x_0⟩=|+⟩\otimes |-⟩\otimes |0⟩$

in der Basis $|X⟩$ mit $X\in \{0,1{\}}^3$. Wie wahrscheinlich ist es den Wert 1 am Bit $x_1$ zu messen? In welchen Zustand geht $|\mathrm{\Psi }⟩$ dann über? Wie sieht $|\mathrm{\Psi }⟩$ nach der Anwendung von $I\otimes X\otimes H$ aus?

Lösungen

Siehe auch

Weitere Informationen können in den Wikipedia-Artileln

• Quantencomputer/Register
• Tensorprodukt

gefunden werden.