Kurs:Quantencomputing/Qubits

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Qubits

Ein Qubit befindet sich in einer Superposition der Zustände

$|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

und

$|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

Der Zustand $|x⟩$ kann daher mit den Amplituden $\alpha ,\beta \in ℂ$ als

$|x⟩=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$

geschrieben werden. Da der Zustand normiert sein soll muss

$|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$

gelten.

Operationen

Das Qubit kann verändert werden ohne es zu messen, indem unitäre Operatoren $U{U}^{†}=U^{†}U=I$ auf es angewandt werden. Eine allgemeine unitäre $2\times 2$-Matrix war durch

$U(\theta ,\varphi ,\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)& -{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\lambda }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\lambda +\varphi )}\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\end{array}\right)$

gegeben. Aus $U$ lassen sich für verschiedene Werte von $\theta$, $\varphi$ und $\lambda$ alle anderen unitären Matrizen ermitteln. In qiskit wird $U(\theta ,\varphi ,\lambda )$ durch

u(<theta>, <phi>, <lambda>, <qubit>)

aufgerufen.

Identität

Die Identität ist durch

$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=U(0,0,0)$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$I\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$

Sie wird in Qiskit durch

id(<qubit>)

aufgerufen.

Pauli-X-Gatter

Das Pauli-X-Gatter ist durch

$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=U(\pi ,0,\pi )$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$X\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\beta \\ \alpha \end{array}\right)$

Es wird in Qiskit durch

x(<qubit>)

aufgerufen.

Pauli-Z-Gatter

Das Pauli-Z-Gatter ist durch

$Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=U(0,0,\pi )$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$Z\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ -\beta \end{array}\right)$

Es wird in Qiskit durch

z(<qubit>)

aufgerufen.

Pauli-Y-Gatter

Das Pauli-Y-Gatter ist durch

$Y=\left(\begin{array}{cc}0& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)=U(\pi ,\pi /2,\pi /2)=\mathrm{i}XZ$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$Y\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{i}\beta \\ \mathrm{i}\alpha \end{array}\right)$

Es wird in Qiskit durch

y(<qubit>)

aufgerufen.

Phasen-Gatter

Das Phasen-Gatter ist durch

$P(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\lambda }\end{array}\right)=U(0,0,\lambda )$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$P(\lambda )\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\lambda }\beta \end{array}\right)$

Es wird in Qiskit durch

p(<lambda>, <qubit>)

aufgerufen.

Hadamard-Gatter

Das Hadamard-Gatter (auch Hadamard-Transformation) ist durch

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=U(\pi /2,0,\pi )$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$H\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}\alpha +\beta \\ \alpha -\beta \end{array}\right)$

Es wird in Qiskit durch

h(<qubit>)

aufgerufen. Die Zustände $|0⟩$ und $|1⟩$ werden auf die Zustände

$|+⟩=H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

und

$|-⟩=H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$

abgebildet, die auch als Hadamard-Basis bezeichnet werden.

Messung

Eine Messung ist nicht unitär. Sie reduziert den Zustand auf $|0⟩$ oder $|1⟩$. Die Wahrscheinlichkeit für jeden der Zustände ist durch das Betragsquadrat der jeweiligen Amplitude zu bestimmen. Sie wird in qiskit durch

measure(<qubit>, <cbit>)

aufgerufen und schreibt den Messwert stets in das klassische Bit cbit

Aufgaben

• Mit welcher Wahrscehinlichkeit werden die Zustände $|0⟩$ und $|1⟩$ im Zustand

$|x⟩=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$

gemessen?

• Drücke $(U(\theta ,\varphi ,\lambda ){)}^{†}$ durch $U({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime },{\lambda }^{\prime })$ aus.
• Bestimme $HXYZH|0⟩$.
• Wie groß ist die Wahrscheinlihckeit $|0⟩$ im Zusatnd $|+⟩$ zu messen?

Lösungen

Siehe auch

Weitere Informationen können im Wikipedia-Artilel Qubit gefunden werden.