Kurs:Quantencomputing/Komplexe Zahlen

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Definiton

Die Gleichung $x^2=-1$ hat keine Lösung in den reellen Zahlen. Wird die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ mit der Eigenschaft ${\mathrm{i}}^2=-1$ eingeführt, können die Zahlen $x+\mathrm{i}y$ mit reellen $x$ und $y$ betrachtet werden. Sie bilden die komplexen Zahlen $ℂ=\{x+\mathrm{i}y|x,y\in ℝ,{\mathrm{i}}^2=-1\}$

Regeln

Mit komplexen Zahlen lässt sich unter der Berücksichtigung von ${\mathrm{i}}^2=-1$ genau so rechnen, wie mit reellen Zahlen. Es ergeben sich dadurch die folgenden Regeln

Addition und Subtraktion

$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+\mathrm{i}(y_1\pm y_2)$

Multiplikation

$z_1{\dot{z}}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+\mathrm{i}(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$

Komplexe Konjugation

$z^{*}=x-\mathrm{i}y$

Real- und Imaginärteil

$\mathrm{Re}(z)=x=\frac{z+z^{*}}{2}$
$\mathrm{Im}(z)=y=\frac{z-z^{*}}{2\mathrm{i}}$

Betrag

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z{z}^{*}}$

Division

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1{z}_2^{*}}{|z_2{|}^2}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2{y}_2^2}+\mathrm{i}\frac{x_2{y}_1+x_1{y}_2}{x_2^2{y}_2^2}$

Euler-Formel

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }=\cos (\varphi )+\mathrm{i}\sin (\varphi )$

Aufgaben

Bestimme oder vereinfache die Ausdrücke $(2+\mathrm{i})+(3-2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})\cdot (-2+3\mathrm{i})\frac{1-2\mathrm{i}}{3+4\mathrm{i}}\mathrm{Re}((1-2\mathrm{i})-(4+5\mathrm{i})){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Komplexe Zahl gefunden werden.
• Ein sehr ausführlicher Wikiversity-Artikel ist unter Komplexe Zahl - (Foliensatz) zu finden.