Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Mathematische Grundlagen Uni

Mathematischer Hintergrund Zyklus 3: Uni-Niveau

• Im Modellierungszyklus 3 wurde versucht, ein System von gekoppelten Differentialgleichungen zu lösen

• Das Differentialgleichungssystem lautet wie folgt:

• (1) $F^{\prime }(t)=a\cdot F(t)-b\cdot F(t)\cdot B(t)$

• (2) $B^{\prime }(t)=-c\cdot B(t)+d\cdot F(t)\cdot B(t)$

• Da dieses Differentialgleichungssystem nicht zu einem äquivalenten System umgewandelt werden kann, deren Differentialgleichungen unabhängig voneinander gelöst werden können, spricht man von gekoppelten Differentialgleichungen

Lösen der gekoppelten Differentialgleichungen

• Zunächst werden die beiden Gleichungen umgeschrieben:

• (3) $F^{\prime }(t)=b\cdot F(t)\cdot (b_0-B(t))$

• (4) $B^{\prime }(t)=d\cdot B(t)\cdot (F(t)-f_0)$

• Hierbei gilt $b_0=a/b$ und $f_0=c/d$.

Erklärung

• (3) $F^{\prime }(t)=b\cdot F(t)\cdot (b_0-B(t))$
• Wachstum F'(t) ist proportional zum Bestand F(t) und zur Differenz $b_0-B(t)$
• B(t)= der Bestand der Borkenkäfer zum Zeitpunkt t
• $b_0$=kritischer Wert

• Falls $B(t)<b_0$, so ist das Wachstum der Fichtenpopulation positiv → Fichtenpopulation nimmt zu
• Falls $B(t)>b_0$, so ist das Wachstum negativ → Fichtenpopulation nimmt ab

Erklärung 2

• (4) $B^{\prime }(t)=d\cdot B(t)\cdot (F(t)-f_0)$
• Wachstum B'(t) ist proportional zum Bestand B(t) und zur Differenz zwischen der Fichtenpopulation und dem kritischen Wert $f_0$
• Ist $F(t)<f_0$ , so ist zu wenig Nahrung vorhanden → Borkenkäferpopulation nimmt ab
• Gilt $F(t)>f_0$ , so ist Nahrung im Überfluss vorhanden → Population der Borkenkäfer nimmt zu

Erklärung 3

• Gleichungen (1) und (2) bilden ein nicht lineares Gleichungssystem, da F(t) und B(t) multipliziert auftreten

• Das Gleichungssystem aus den Gleichungen (1) und (2) wird folgendermaßen umgeschrieben:

• (1') $\frac{F^{\prime }(t)}{F(t)}=a-b\cdot B(t)$

• (2') $\frac{B^{\prime }(t)}{B(t)}=-c+d\cdot F(t)$

• Es wurde durch F(t) bzw. durch B(t) geteilt, was hier zu keinem Problem führt, da im Kontext diese beiden Werte nicht 0 sein können, da sonst die Arten ausgestorben wären

Multiplizieren von (1') und (2') führt zu folgender Gleichung:

• $\frac{F^{\prime }(t)}{F(t)}\cdot (-c+d\cdot F(t))=\frac{F^{\prime }(t)}{F(t)}\cdot \frac{B^{\prime }(t)}{B(t)}=(a-b\cdot B(t))\cdot \frac{B^{\prime }(t)}{B(t)}$

• Also:

• $(a-b\cdot B(t))\cdot \frac{B^{\prime }(t)}{B(t)}=\frac{F^{\prime }(t)}{F(t)}\cdot (-c+d\cdot F(t))$
• ⇔ $-c\cdot \frac{F^{\prime }(t)}{F(t)}+d\cdot F^{\prime }(t)=a\cdot \frac{B^{\prime }(t)}{B(t)}-b\cdot B^{\prime }(t)$

Stammfunktionen finden:

• Auf der rechten Seite steht die Ableitung von $a\cdot ln(B(t))-b\cdot B(t)$ und links von $-c\cdot ln(F(t))+d\cdot F(t)$.

• Diese beiden Funktionen sind Stammfunktionen derselben Funktion, weshalb sie sich nur in einer Konstante k unterscheiden → die Differenz der beiden Funktionen ergibt Konstante k

• $-c\cdot ln(F(t))+d\cdot F(t)-a\cdot ln(B(t))+b\cdot B(t)=k$

• Hier darf die Exponentialfunktion angewendet werden, da diese auf den ganzen Reellen Zahlen definiert ist

Exponenzieren führt zu:

• $\frac{e^{d\cdot F(t)}}{F(t{)}^c}\cdot \frac{e^{b\cdot B(t)}}{B(t{)}^a}=K$

• Es gilt $K=e^k$.

• Ist das Funktionspaar F(t), B(t) eine Lösung der Lotka-Volterra-Differentialgleichung mit den Parametern a,b,c,d, so liegen alle Paare (F(t), B(t)) auf einer Höhenlinie der Funktion

• $F(x,y)=\frac{e^{d\cdot x}}{x^c}\cdot \frac{e^{b\cdot y}}{y^a}$

Höhenlinien im 1. Quadranten

• Negative Anzahlen für Fichten- bzw. Borkenkäferpopulation in der Realität ausgeschlossen
• Im Folgenden wird nun gezeigt, dass es ein lokales Minimum der Funktion gibt und die restlichen Höhenlinien geschlossene Kurven sind

• Um kritische Punkte, wie z.B. Minima/Maxima zu bestimmen, muss der Gradient der Funktion bestimmt werden und dieser muss Null gesetzt werden
• Für den Gradienten sind die Partiellen Ableitungen der Funktion F(x,y) nötig.

Partielle Ableitungen

• $\frac{d}{dx}$ = $\frac{e^{b\cdot y}}{y^a}\cdot$ $\frac{(d\cdot x-c)\cdot e^{d\cdot x}\cdot x^{c-1}}{x^{2\cdot c}}$

• $\frac{d}{dy}$ = $\frac{e^{d\cdot x}}{x^c}\cdot$ $\frac{(b-a\cdot y)\cdot e^{b\cdot y}\cdot y^{a-1}}{y^{2\cdot a}}$

Nullsetzten der partiellen Ableitungen ergibt:

• $d\cdot x-c=0$
• ⇔ x = $\frac{c}{d}$

• $b\cdot y-a=0$
• ⇔ y = $\frac{a}{b}$

• Man hat also den kritischen Punkt ($f_0$, $b_0$) = ($\frac{c}{d}$, $\frac{a}{b}$) gefunden
• zeigen, dass es sich um ein lokales Minimum handelt mit Hilfe der Hessematrix
• positiv definitiv → lokales Minimum

Hessematrix

• mit Maxima erstellt, indem man eine Matrix erstellt, bei der:
• der erste Eintrag in der ersten Spalte ist die Funktion F(x,y) zweimal nach x abgeleitet
• der zweite Eintrag der ersten Spalte ist die Funktion zuerst nach x und dann nach y abgeleitet
• der erste Eintrag der zweiten Spalte ist die Funktion zuerst nach y und dann nach x abgeleitet
• der zweite Eintrag der zweiten Spalte ist die Funktion zweimal nach y abgeleitet

Es entsteht folgende Matrix mit folgenden Eigenwerten:

Abbildung:Hessematrix und Eigenwerte

• Beide Eigenwerte sind größer als Null → positiv definite Hessematrix → gefundener kritischer Punkt ist lokales Minimum

Höhenlinien

• Höhenlinien von F(x,y) sind geschlossene Kurven → F(t) und B(t) sind periodisch in t mit einer gemeinsamen Periode T.

• $0=ln(F(T))-ln(F(0))=$
• $\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{d}{dt}ln(F(t))dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}(a-b\cdot B(t))dt=a\cdot T-b\cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}B(t)dt$

• erste Gleichheit gilt, da F periodisch mit Periode T ist.
• zweite Gleichheit gilt nach der gewöhnlichen Integralrechnung, also dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
• drittes Gleichzeichen wird verwendet, dass die logarithmische Ableitung von F(t) die Funktion $a-b\cdot B(t)$ ist.

Demnach sieht man:

• $a\cdot T=b\cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}B(t)dt$

• Also ist der Mittelwert der Funktion B:

• $MW(B)=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}B(t)dt=\frac{a}{b}=b_0$

• Der Mittelwert von F ergibt sich analog mit:

• $MW(F)=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}F(t)dt=\frac{c}{d}=f_0$

• Der Mittelwert der Bestände an Fichten und Borkenkäfern ist also unabhängig von der jeweiligen Lösung der Differentialgleichung.

Berechnung von Eigenwerten

• Multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor, so erhält man erneut einen Vektor.
• Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man mit der Matrix multiplizieren kann, sodass man den selben Vektor, der sich lediglich um einen Vorfaktor unterscheidet, erhält. → Eigenvektor (≠ Nullvektor), Vorfaktor als Eigenwert

Eigenwerte

• Um nun die Eigenwerte zu berechnen, bildet man zunächst die Matrix $A-h\cdot E_2$ $,E_2$ ist dabei die 2x2 Einheitsmatrix.
• Man muss also auf der Diagonalen der Matrix A immer den Wert h abziehen.

• Nun berechnet man die Determinante der neu erhaltenen 2x2 Matrix, indem man vom Produkt der Hauptdiagonalen das Produkt der Nebendiagonalen abzieht.
• Die Determinante wird als Charakteristisches Polynom bezeichnet.

• Um nun die Eigenwerte zu erhalten bestimmt man die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms.

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