Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Mathematische Grundlagen Sek II

Mathematische Grundlagen Sek II

Definition Differenzierbarkeit und Ableitung

• Sei f eine Funktion auf D → IR und sei D eine Teilmenge von IR.
• Sei a aus D eine Stelle, die in D\{a} approximierbar ("annäherbar") ist
• Man nennt f differenzierbar an der Stelle a, falls der Grenzwert $li{m}_{x->a}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)}$ aus IR existiert. (Beachte: für x=a ist dieser Term nicht definiert.)

Ableitung

• In dem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert auch als Ableitung von f an der Stelle a und schreibt:

• $f^{\prime }(a)=li{m}_{x->a}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)}$. f'(a) ist gerade der Grenzwert der Steigung der Sekanten in a, was der Steigung der Tangente in a entspricht.

• Eine Funktion heißt differenzierbar auf einer Menge A, welche eine Teilmenge des Definitionsbereiches ist, wenn an jeder Stelle a aus A der obige Grenzwert existiert, die Funktion also an jeder Stelle a differenzierbar ist.

Differenzialgleichungen

• Jede Gleichung, in der eine Ableitung vorkommt, wird als Differenzialgleichung bezeichnet.
• Ordnung der Differentialgleichung richtet sich nach der höchsten vorkommenden Ableitungsordnung
• Bei der Differentialgleichung für logistisches Wachstum handelt es sich um eine nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung.

Differentialgleichung logistischen Wachstums

• $f^{\prime }(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))=k\cdot f(t)\cdot S-k\cdot f(t{)}^2$

• Durch $f(t{)}^2$ wird diese Differentialgleichung zu einer nicht linearen Differentialgleichung. In einer linearen Differentialgleichung dürfte f(t) lediglich mit einem konstanten Faktor multipliziert werden.

• Die Lösung dieser Differentialgleichung wurde innerhalb des Zyklus 2 durchgeführt.

Hintergrund

• durch Lösen der Differentialgleichung $f^{\prime }(t)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$ ergibt sich für das logistische Wachstum
• $f(t)=\frac{f(0)\cdot S}{f(0)+(S-f(0))\cdot e^{-Skt}}$

Lineare Regression

Idee:

Für Zahlenpaare $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n),$ soll eine lineare Funktion $f(x)=m\cdot x+b$ gefunden werden, sodass $f(x_i)\approx y_i$. Graphisch soll also eine Ausgleichs- oder Regressionsgerade gefunden werden, an der alle Punkte $(x_i,y_i)$ so nah wie möglich liegen.

Berechnung:

• So nah wie möglich bedeutet für die lineare Regression, dass die Summe der quadratischen Abweichungen, also $\sum _{i=1}^n(f(x_i)-y_i{)}^2$ minimiert werden soll.
• Mit dieser Bedingung gibt es immer eine eindeutig bestimmte Regressionsgerade, die sich ergibt mit

• $m=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i{y}_i)-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}{\sum _{i=1}^n(x_i^2)-n\cdot {\overline{x}}^2}$ und $b=\overline{y}-m\cdot \overline{x}$

• $m=$ Steigung der Geraden, $\overline{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{x}_i$ (Mittelwert der x-Werte), $\overline{y}=\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{y}_i$ (Mittelwert der y-Werte), $b=$ y-Achsenabschnitt

Herleitung

• $\sum _{i=1}^n(f(x_i)-y_i{)}^2$ soll minimal werden
• ⇒ $\sum _{i=1}^n(m{x}_i+b-y_i{)}^2$ soll minimal werden

• 1. Schritt: Wähle ein willkürliches, festes $m$ und zeige, dass $h(b)=\sum _{i=1}^n(m{x}_i+b-y_i{)}^2$ nur dann minimal sein kann, wenn b die angegebene Form $b=\overline{y}-m\cdot \overline{x}$ hat. Also sind nun $x_i,y_i,m$ feste Zahlen und $h(b)$ hängt nur von $b$ ab.

• $h^{\prime }(b)=\sum _{i=1}^n(2\cdot (m{x}_i+b-y_i))=0$
• ⇒ $b=\overline{y}-m\cdot \overline{x}$

2. Schritt:

• Bekannt: für das optimale Paar $(b,m)$ gilt $b=\overline{y}-m\cdot \overline{x}$ (b aus Schritt 1)
• Betrachte nun $g(m)=\sum _{i=1}^n(m{x}_i+b-y_i{)}^2$
• $g^{\prime }(m)=2\cdot \sum _{i=1}^n((x_i-\overline{x}{)}^2\cdot m)-2\cdot \sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})\cdot (y_i-\overline{y})=0$

• $m=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i{y}_i)-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}{\sum _{i=1}^n(x_i^2)-n\cdot {\overline{x}}^2}$

Berechnung Regressionsgerade für Zyklus 2:

Tabelle

Abbildung: Berechnung Regressionsgerade

Berechnung

• $n=15$

• $\sum _{i=1}^n{x}_i=105$⇒$\overline{x}=7$

• $\sum _{i=1}^n{y}_i=-247,06$⇒$\overline{y}\approx -16,47$

• $\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot y_i=-1931,36$

• $\sum _{i=1}^n{x}_i^2=1015$

• ⇒ $m=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i{y}_i)-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}{\sum _{i=1}^n(x_i^2)-n\cdot {\overline{x}}^2}=\frac{-1931,36-1515\cdot 7\cdot (-16,47)}{1015-15\cdot 7^2}\approx -0,72$

• ⇒ $b=\overline{y}-m\cdot \overline{x}=-16,47-(-0,72)\cdot 7=-11,42$

• ⇒ $y=-0,72\cdot x-11,42$

Lineare Regression

$y=-0,72\cdot t-11,42$

Abbildung: Lineare Regression zu Werten aus Zyklus 1

https://www.geogebra.org/classic/j97aj8f3

Siehe auch

• Wiki2Reveal

Seiteninformation

Diese Lernressource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Mathematische_Modellbildung' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/R%C3%A4uber-Beute-Modelle/Mathematische_Grundlagen_Sek_II
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.