Quelltext der Seite Topologie/Stetige Abbildungen/Peano-Kurve/Beispiel

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Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Als '''Peano-Kurve''' bezeichnet man stetige surjektive Abbildungen {{math|term=  I\to I^2}} eines bestimmten Typs.
Die erste Konstruktion stammt von [[W:Giuseppe Peano|Giuseppe Peano]], und sie wurde damals als etwas Beunruhigendes empfunden. Zunächst
sei angemerkt, dass  
eine stetige surjektive Abbildung <math>f\colon I\to I^2</math>  wiederum stetige und surjektive Abbildungen <math>f\times\operatorname{id}_{I^{n-1}}\colon I^n\to I^{n+1}</math> liefert, und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion <math>I\to I^n</math> für jedes 
<math>n\in \mathbb{N}</math>. Des weiteren erlaubt eine stetige surjektive Abbildung {{math|term=  I\to I^n}} die Definition einer stetigen surjektiven
Abbildung {{math|term=  \mathbb{R}\to \mathbb{R}^n}}, indem man {{math|term= \mathbb{R}^n}} auf geeignete Weise durch
abzählbar viele Würfel {{math|term=  I^n}} überdeckt.

Zur Konstruktion einer Peano-Kurve gebe ich einige Bilder an, die andeuten, wie der [[W:Grenzwert|Grenzwert]] einer 
geeigneten [[W:Folge (Mathematik)|Folge]] stetiger (sogar stückweise linearer) Abbildungen {{math|term=  I\to I^2}}
eine stetige surjektive Abbildung {{math|term=  I\to I^2}} liefert. Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden:

:[[Datei:Peano curve shaded.svg]]

Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man folgendes Bild:

:[[Datei:Peano curve.png]]


Nun werde ich eine präzise Definition einer surjektiven stetigen Abbildung {{math|term=  I\to I^2}} 
mit Hilfe der [[W:Cantor-Menge|Cantor-Menge]] geben. Die informelle Beschreibung der Cantor-Menge 
lautet so:

Man beginnt mit dem abgeschlossenen Intervall <math>[0,1]</math> der [[W:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] von 0 bis 1.
Aus diesem Intervall wird das offene mittlere Drittel entfernt, also alle Zahlen, die strikt zwischen 1/3 und 2/3 liegen. Übrig bleiben die beiden Intervalle <math>[0,\tfrac13]</math> und <math>[\tfrac23, 1]</math>.
Aus diesen beiden Intervallen wird wiederum jeweils das offene mittlere Drittel entfernt und man erhält nun vier Intervalle: <math>[0,\tfrac19]</math>, <math>[\tfrac29 ,\tfrac13 ]</math>, <math>[\tfrac23 ,\tfrac79 ]</math> und <math>[\tfrac89 ,1]</math>.
Von diesen Intervallen werden wiederum die offenen mittleren Drittel entfernt. 
Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt.
Die Cantor-Menge besteht nun aus allen Punkten, die jedes Entfernen überlebt haben. Das Bildchen dazu sieht so aus:

:[[Datei:Cantor-Menge.png]]

Man kann die Cantor-Menge auch als die Menge aller reellen Zahlen <math>x\in I = [0, 1]</math> beschreiben, die eine Darstellung 
{{math|term=  \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n}  }}
als [[W:Stellenwertsystem|Kommazahl]] zur Basis 3 besitzen, in der nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen. Insbesondere enthält die Cantor-Menge mehr als nur die Randpunkte der entfernten Intervalle; diese Randpunkte sind genau die Zahlen in <math>[0, 1]</math>, welche sich mit einer 0-Periode oder mit einer 2-Periode schreiben lassen, zum Beispiel 
:<math>1/3 = 2\cdot 3^{-2} + 2\cdot 3^{-3} + 2\cdot 3^{-4} + \cdots = 0{,}0\overline{2}_3=0{,}1_3</math> 
Auch 1/4 liegt in der Cantor-Menge, denn 
:<math>1/4 = 2\cdot 3^{-2} + 2\cdot 3^{-4} + 2\cdot 3^{-6} + \cdots = 0{,}\overline{02}_3</math>
Tatsächlich ist die triadische Darstellung einer Zahl in der Cantor-Menge eindeutig, wenn man fordert,
dass die 1 nicht als Ziffer auftaucht.

Bezeichne nun {{math|term=  C}} die Cantor-Menge, dann gibt es eine surjektive stetige Abbildung
{{math|term=  g\colon C \to I}}. Sie ist definiert als
{{
mathdisplay|term=
 g \Bigl( \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n} \Bigr) \colon = \sum_{n=1}^\infty \frac{ \frac{a_n}{2} }{2^n} \,
}}
In Worten: {{math|term=  g}} halbiert die Ziffern einer triadischen Darstellung und nimmt sie als Ziffern einer
duadischen oder binären Darstellung. Da jede reelle Zahl eine duadische Darstellung besitzt, ist {{math|term=  g}}
surjektiv. Es sei nun {{math|term=  \epsilon > 0}} und {{math|term=  n\in \mathbb{NN} }} mit 
{{math|term=  \frac{1}{2^n}<\epsilon }}, dann ist f\"ur zwei Punkte {{math|term=  x,y \in C}} mit
{{math|term=  \vert x- y\vert <\frac{1}{3^n} }} schon
{{
mathdisplay|term=
 \vert g(x) - g(y) \vert \leq \sum_{i={n+1} }^\infty   \frac{1}{2^i}  =   \frac{1}{2^n}   < \epsilon \,
}}
Denn die triadischen Darstellungen von {{math|term=  x,y}} unterscheiden sich nicht vor der {{math|term=  n+1}}-ten
Stelle. Also ist {{math|term=  g}} stetig.

Des weiteren gibt es eine surjektive Abbildung {{math|term=  h\colon C\to C\times C}}, die durch
{{
mathdisplay|term=
   h \Bigl( \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n} \Bigr) \colon = \Bigl( \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{2n} }{3^n} ,\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{2n+1} }{3^n} \Bigr)       \,
}}
definiert ist -- also ein mathematisches Modell des Reißverschlusses. Die Stetigkeit von {{math|term=  h}} sieht man leicht ein.
Somit gibt es eine stetige surjektive Abbildung {{math|term=  (g\times g)\circ h\colon C\to I\times I}}. Diese läßt sich
erweitern zu einer stetigen (und erst recht surjektiven)
Abbildung {{math|term=  f\colon I\to I\times I}}, etwa indem in den entfernten Intervallen linear
fortgesetzt wird.
== Siehe auch ==
*[[W:FASS-Kurve|FASS-Kurve]]
*[[W:Hilbert-Kurve|Hilbert-Kurve]]
*[[W:Sierpinski-Kurve|Sierpinski-Kurve]]

|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Grundbegriffe der Topologie
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