Quelltext der Seite Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/topologische Vektorräume

== Stetigkeitssatz für lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen (SLAT) ==
Seien <math>(X,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> und <math>(Y,\|\cdot\|_{\widetilde{\mathcal{A}}})</math> [[Topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] mit den Systemen von [[Gaugefunktional|topologieerzeugenden Gaugefunktionalen]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> und 
:<math>T : X \rightarrow Y </math> eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
* (1) ''T'' ist stetig in jedem Punkt <math>x \in X</math>
* (2) ''T'' ist stetig im Nullvektor <math>0_{X} \in X</math>
* (3)  <math>\forall_{ \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} } \exists_{\alpha \in \mathcal{A}, \, M_{\alpha} > 0 } \forall_{x\in X} \, : \, \| x \|_{\alpha} \leq 1 \Longrightarrow  \| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} \leq M_{\alpha} </math> 
* (4)  <math>\forall_{ \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} } \exists_{\alpha \in \mathcal{A}, \, M_{\alpha} > 0 } \forall_{x\in X} \, : \,\| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} \leq M_{\alpha} \cdot \| x \|_{\alpha} </math> ,

== Beweis SLAT ==
Der Stetigkeitssatz für Lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen (SLAT) wird als 
Ringschluss von (1) <math>\Rightarrow</math> (2) <math>\Rightarrow</math> (3) <math>\Rightarrow</math> (4)   <math>\Rightarrow</math> (1) bewiesen.

=== Folgerung SLAT (1) nach (2) === 
klar, da der Nullvektor <math>0_{X} \in X</math>

=== Folgerung SLAT (2) nach (3) ===

Nach dem [[Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume|Epsilon-Delta-Kriterium]] für topologische Räume erhält man für die Stetigkeit in <math>x_o = 0_X \in X</math> folgende äquivalente Bedingung.
:<math> 
\forall_{ 
    U_\varepsilon \in {\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_Y}(T(x_o)) 
  } 
\exists_{ 
    U_\delta \in {\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_X}(x_o) 
} 
\forall_{ 
  x \in X 
}
\, : \, 
x \in U_\delta \Longrightarrow T(x) \in U_\varepsilon 
</math>

==== Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 1 ====
Da <math>(X,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> und <math>(Y,\|\cdot\|_{\widetilde{\mathcal{A}}})</math> [[Topologischer Vektorraum|topologische Räume]] sind und die Systemen von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] die Topologie erzeugen, gibt es  für jede Nullumgebung <math>U_\delta</math> ein <math>\alpha \in \mathcal{A} </math> ein <math>\delta_o > 0 </math> und für jede Nullumgebung <math>U_\varepsilon </math> ein <math> \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} </math> und ein <math>\varepsilon_o > 0 </math> mit:
:<math>  B_{\delta_o}^{\alpha}(0_X) \subset U_\delta 
\ \wedge \ 
B_{\varepsilon_o}^{\widetilde{\alpha}}(0_Y) \subset U_\varepsilon
</math>

==== Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 2 ====
Da es nach dem <math>\varepsilon - \delta </math>-Kriterium zu jedem <math>U_\varepsilon </math> ein <math>U_\delta </math> existiert und kann man dies insbesondere für die Nullumgebung <math> U_\varepsilon := B_{\varepsilon_o}^{\widetilde{\alpha}}(0_Y)</math> von <math> 0_Y </math> anwenden, wählt dazu das <math> U_\delta </math>. Damit gilt für alle <math>x \in U_\delta </math>.
:<math> T(x) \in B_{\varepsilon_o}^{\widetilde{\alpha}}(0_Y) = U_\varepsilon</math>

==== Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 3 ====
Durch Anwendung auf die Gaugefunktionale erhält man die Abschätzungen:
* <math>\|x\|_\alpha < \delta_o </math> folgt <math> x \in  B_{\delta_o}^{\alpha}(0_X) \subset U_\delta </math>.
* <math>\|y\|_\widetilde{\alpha} < \varepsilon_o </math> folgt <math> y \in B_ {\varepsilon_o}^{\widetilde{\alpha}}(0_Y) = U_\varepsilon </math>.

==== Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 4 ====
Mit der ersten Abschätzung und der Homogenität von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] folgt aus <math>\|x\|_\alpha < 1 </math>, dass <math>\|\delta_o \cdot x\|_\alpha < \delta_o </math> gilt. Das oben genannte <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium für topologische Räume liefert mit der der Bedingung im <math>x \in U_\delta \Longrightarrow T(x) \in U_\varepsilon 
</math>, dass dann <math> T(\delta_o \cdot x) \in U_\varepsilon</math> erfüllt ist.

==== Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 5 ====
Für Bedingung (3) benötigt man eine Abschätzung für <math>\|x\|_\alpha \leq 1 </math> und nicht nur für <math>\|x\|_\alpha < 1 </math>.  Für alle <math>\|x\|_\alpha \leq 1 </math> gilt <math>\left\|\frac{\delta_o}{2}\cdot x\right\|_\alpha \leq \frac{\delta_o}{2} <  \delta_0 </math>. Damit erhält man für für <math>\|x\|_\alpha \leq 1 </math> die Bedingungen <math> \frac{\delta_o}{2}\cdot x \in B_{\delta_o}^\alpha (0_X)</math> und <math> T\left(\frac{\delta_o}{2} \cdot x\right ) \in U_\varepsilon</math>.

==== Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 6 ====


Mit  <math> y := T\left(\frac{\delta_o}{2} \cdot x\right) \in U_\varepsilon </math> und <math>\|y\|_\widetilde{\alpha} < \varepsilon_o </math> für alle <math> y \in U_\varepsilon </math> erhält man <math>\|T(\delta \cdot x)\|_\widetilde{\alpha} < \varepsilon_o </math>. Die Behauptung folgt dann mit der Homogenität von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] für alle <math>\|x\|_\alpha \leq 1 </math>:   
:<math>\|T(x)\|_\widetilde{\alpha} = \frac{2}{\delta_o} \cdot \underbrace{\bigg\|T\bigg(\frac{\delta_o}{2} \cdot x\bigg)\bigg\|_\widetilde{\alpha} }_{ < \varepsilon_o } < \underbrace{\frac{2}{\delta_o} \cdot \varepsilon_o}_{:= M_\alpha} = M_\alpha</math>

=== Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fallunterscheidung ===
Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Zu jedem <math>\widetilde{\alpha} \in  \widetilde{\mathcal{A}}</math> existiert ein <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> <math>M_\alpha > 0 </math> mit <math> \| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} \leq M_\alpha </math> für alle <math>x \in X</math> mit <math>\| x \|_{\alpha} \leq 1 </math>. Man wählt für das gesucht <math>M_\alpha > 0</math> der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene <math>M > 0</math> und betrachtet die Fallunterscheidung für <math> \| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} = 0 </math> und <math> \| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} \not= 0</math>:

==== Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 1 ==== 
In Fall 1 weisen wir die Ungleichung (4) für den Fall <math>\| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} = 0 </math> nach. Es gilt: 
: <math> 
   \| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} 
    =  0 \leq   
    \underbrace{M_\alpha}_{ > 0 } \cdot \underbrace{ \| x \|_{\widetilde{\alpha}} }_{\geq 0}
 </math>

==== Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.1 ====
In Fall 2 sei nun  <math> \| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} \not= 0</math> und <math>x \in X</math> beliebig gewählt. Dann liegt für <math>\| x \|_{\alpha} > 0  </math> der Vektor <math> \widehat{x}:= \frac{x}{\|x\|_{\alpha}}</math> auf dem topologischen Rand der abgeschlossenen Einheitskugel <math>\overline{ B_1^{(\alpha)} (0_X) }</math>  in <math>X</math>, denn es gilt:
: <math> \|\widehat{x}\|_{\alpha} = \left\|\frac{x}{\|x\|_{\alpha}}\right\|_{\alpha} = \frac{\|x\|_{\alpha}}{\|x\|_{\alpha}} = 1</math>

==== Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.2 ====
Da nun <math> \|\widehat{x}\|_{\alpha} \leq 1</math> erfüllt ist, kann die Aussage (3) auf <math> \widehat{x}:= \frac{x}{\|x\|_{\alpha}}</math> angewendet werden und man erhält:
:<math> 
   \begin{array}{rcl} 
     M_{\alpha} &\geq & \| T(\widehat{x}) \|_{\widetilde{\alpha}}  = \left\| T\left( \frac{x}{\|x\|_{\alpha}} \right) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \\ 
           &  \stackrel{T\, lin}{=}  &  \left\| \frac{1}{\|x\|_{\alpha}} \cdot T(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \\
           &  \stackrel{\|\cdot \|_{ \widetilde{\alpha} }\, hom.}{=} & \left| \frac{ 1 }{ \|x\|_{\alpha} } \right| \cdot \|  T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} =  \frac{ 1 }{ \|x\|_{\alpha} }  \cdot \|  T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} 
   
    \end{array}
 </math>

==== Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.3 ====
Die Normierung zu <math> \|\widehat{x}\|_{\alpha} = 1</math> konnte im obigen Fall nur unter der Bedingung durchgeführt werden, wenn <math> \|x\|_{\alpha} > 0</math> gegeben war. Es fehlt also noch die Untersuchung vom Fall <math> \|x\|_{\alpha} = 0</math> und <math> \| T(\widehat{x}) \|_{\widetilde{\alpha}} > 0 </math>. Es existieren unter der Voraussetzung (3) keine <math>x \in X</math> mit <math> \|x\|_{\alpha} = 0</math> und <math> 0 < \| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} \leq M_\alpha </math>, wie die folgende Begründung zeigt.

==== Begründung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.4 ====
Es gilt keine <math>x\in X</math> mit <math> \|x\|_{\alpha} = 0</math> und <math> 0 < \| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} \leq M_\alpha </math>, denn mit <math> \|x\|_{\alpha} = 0</math> gilt auch <math> \|\lambda \cdot x\|_{\alpha} = 0 < 1 </math> für alle <math>\lambda \in \mathbb{K} </math>. Dann würde aber die Bedingung der Beschränktheit aus (3) durch <math>M_\alpha</math> verletzt, denn es gilt mit der Linearität von <math>T</math> und der Homogenität des [[Gaugefunktional|Gaugefunktionals]] <math> \|\lambda \cdot x\|_{\alpha} = 0 < 1 </math>: 
:<math> \| T(\lambda \cdot x) \|_{\widetilde{\alpha}} = |\lambda | \cdot  \underbrace{ \| T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} }_{ > 0} </math>.

==== Bemerkung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.4 ====
Da nach (3) eine Schranke <math>M_\alpha </math> existiert und <math>\lambda > 0 </math> wird beliebig groß, kann unter dieser Bedingung <math> \|x\|_{\alpha} = 0</math> diese Schranke nicht existieren.

==== Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.4 ====
Insgesamt erhält man (3): Für alle <math> \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} </math> ein <math>\alpha \in \mathcal{A} </math> existiert, wobei für <math> \|x\|_{\alpha} > 0 </math> gilt:  
: <math> M_\alpha \geq \| T(\widehat{x}) \|_{\widetilde{\alpha}} =  \frac{1}{\|x\|_{\alpha}} \cdot \|  T(x) \|_{\widetilde{\alpha}}</math> 
bzw. die Ungleichung 
:<math>  \|  T(x) \|_{\widetilde{\alpha}} \leq M \cdot\|x\|_{\alpha} </math>

=== Folgerung SLAT (4) nach (1) ===
* Nach Voraussetzung gelte (4) <math>\forall_{ \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} } \exists_{\alpha \in \mathcal{A}, \, M_{\alpha} > 0 } \forall_{x\in X} \, : \,\| T(x) \|_{\widetilde{\mathcal{A}}} \leq M_{\alpha} \cdot \| x \|_{\alpha} </math>,
* Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung <math>T</math>  in einem beliebigen Punkt <math>x_o \in X</math> stetig ist.
D.h. wir zeigen, dass aus <math> \lim_{i \to \infty}^{ \|\cdot\|_{\mathcal{A}} } x_i = x_o</math> auch die Konvergenz der Bildnetz <math>\lim_{i \to \infty}^{\|\cdot\|_{\widetilde{\mathcal{A}}} }  T(x_i) = T(x_o)</math> gegen <math> T(x_o)</math> erfüllt ist. Über dem Limes steht das Gaugefunktionalsystem, bzgl. der die [[Normen,_Metriken,_Topologie|Konvergenz]] definiert wird.

==== Folgerung SLAT (4) nach (1) - Teil 1 ====
Für den Nachweis der Stetigkeit von <math>T</math> in jedem Punkt aus <math>X</math> sei nun <math>x_0 \in X</math> beliebig gewählt. Ferner sei ein Netz <math>(x_i)_{i \in I} \in X^I </math> in <math>X</math> mit  <math>\lim_{i \to \infty}^{\|\cdot\|_{\mathcal{A}}} x_i = x_o</math> gegeben, die also gegen <math>x_0 \in X</math> bzgl. des [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsystems]] <math>\| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> konvergiert. Für den Nachweis der Konvergenz der  Bildnetze <math> (T(x_i))_{i \in I} \in Y^I </math> gegen  <math> T(x_0) \in Y </math> verwenden man die Linearität und die Einschachtelung des Bildnetzes durch Verwendung der Ungleichung (4).

==== Folgerung SLAT (4) nach (1) - Teil 2 ====
Zunächst einmal drücken wir die Konvergenzaussage für [[Netze (Mathematik)|Netze]] in der Topologie durch die [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalsysteme]] aus.
* <math>  
   
   \begin{array}{ll}
          \displaystyle \lim_{i \to \infty}^{\|\cdot\|_{\mathcal{A}}}   & 
        x_i = x_o  \,\, \Longleftrightarrow   \\
            & \forall_{\alpha \in \mathcal{A}, \delta > 0 } 
   \exists_{i_{(\alpha, \delta)} \in I }  
  \forall_{i \succ i_{(\alpha, \delta)}} 
  \, : \, \| x_i - x_o \|_\alpha < \delta
          \end{array}
 </math>
* <math>
\begin{array}{ll}
           \displaystyle  \lim_{\widetilde{i} \to \infty}^{\|\cdot\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}} & T(x_i) = T(x_o) \,\, \Longleftrightarrow \\ 
 & \forall_{\widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}}, \varepsilon > 0 } 
   \exists_{ i_{(\widetilde{\alpha}, \varepsilon)} \in I }  
  \forall_{i \succ i_{(\widetilde{\alpha}, \varepsilon)} }
  :  \| T(x_{i}) - T(x_o) \|_{\widetilde{\alpha}} < \varepsilon 
          \end{array}
 </math>

==== Folgerung SLAT (4) nach (1) - Teil 2 ====
Für den Nachweis der Konvergenz des Netzes <math>(T(x_i))_{i \in I} \in Y^I</math> gegen  <math>T(x_0) \in Y</math> wird der Abstand zwischen Komponenten des Bildnetzes <math>T(x_i)</math> und <math>T(x_o)</math>  wie folgt abgeschätzt:
: <math>
  \begin{array}{rcl}
     0 & \leq   &  \|T(x_i)-T(x_0)\|_{\widetilde{\alpha}} \stackrel{T\, lin.}{=} \|T(x_i - x_0)\|_{\widetilde{\alpha}} \\
     & \stackrel{(4)}{\leq} &  M_\alpha \cdot \|x_i - x_0\|_\alpha 
{\,}_\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptscriptstyle i \to \infty}
0  \\
   \end{array}
 </math>,
da <math>(x_i)_{i \in I} \in X^I</math> in <math>X</math> gegen <math>x_0 \in X</math> konvergiert und mit <math>\|x_i - x_0\|_\alpha {\,}_\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptscriptstyle i \to \infty}
 0 </math> durch Abschätzung auch <math>\|T(x_i)-T(x_0)\|_{\widetilde{\alpha}} {\,}_\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptscriptstyle i \to \infty}
 0 </math> konvergiert.

=== Ringschluss SLAT ===
Damit wurde mit dem Ringschluss die Äquivalenz der Aussagen (1)-(4) nachgewiesen. <math>\Box</math>

== Siehe auch ==
* [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]
* [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Normierte Räume|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen in normierten Räumen]]
* [[Netze (Mathematik)]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - normierte Räume|Hahn-Banach - normierte Räume]]
* [[Kurs:Funktionalanalysis]]
* [[w:de:Kontraposition|Kontraposition]]
* [[Normen,_Metriken,_Topologie#Def%3A_Konvergenz_im_normierten_Raum|Konvergenz in normierten Räumen]]
* [[Normenäquivalenzsatz]]
* [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen|Stetigkeit in topologischen Räumen]]
* [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]]


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