Quelltext der Seite Skalarprodukt/Gradient/Einschränkung/Orthogonale Projektion/Aufgabe/Kommentar

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Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}}
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Der nach dem Lemma eindeutig bestimmte Vektor {{math|v}} hat die Eigenschaft, dass {{math|f(w){{=}}\langle v, w\rangle}} für alle {{math|w \in V}} gilt und die Linearform damit vollständig festlegt wird.
Für die Einschränkung auf {{math|U}} gilt entsprechend

: <math>f\vert_U\colon U \to \mathbb{R}, \quad f\vert_U(w) {{=}} \langle v, w\rangle .</math>

Nun ist {{math|f\vert_U}} eine Linearform zum Vektorraum {{math|U}}, sodass nach dem Lemma ein Vektor {{math|u \in U}} existieren muss, für den {{math|f\vert_U(w) {{=}} \langle u, w\rangle_U}} für alle {{math|w\in U}} gilt. Für {{math|v}} selbst gilt dies nicht, da dieser Vektor nicht in {{math|U}} enthalten sein muss.
Hier schreiben wir {{math|\langle {-} , {-} \rangle_U}} für das induzierte Skalarprodukt auf {{math|U}}, um es vom Skalarprodukt auf {{math|V}} zu unterscheiden. Es ist nur für Elemente aus {{math|U}} definiert.

Da der Vektor {{math|u}} eindeutig bestimmt ist, reicht es zu zeigen, dass die orthogonale Projektion {{math|p}} von {{math|v}} die gewünschte Eigenschaft besitzt. Im Weiteren nehmen wir also an, dass {{math|u {{=}} p(v)}}.

Nun können wir einen Vektor {{math|v'}} definieren mit der Eigenschaft {{math|v {{=}} u + v'}}. Anschauchlich bedeutet dies, dass wir {{math|v}} in zwei Teile zerlegen: die Projektion auf {{math|U}} und den orthogonal dazu stehenden Anteil. Es empfiehlt sich diese Situation zu skizzieren. Tatsächlich gilt nun

: <math>u = p(v) {{=}} p(u + v') {{=}} p(u) + p(v') {{=}} u + p(v')</math>

unter Ausnutzung der Linearität von {{math|p}} und der Eigenschaft, dass {{math|p(u){{=}}u}}. Somit ist {{math|p(v') {{=}} 0}} und {{math|v'}} im Kern von {{math|p}}. Per Definition der orthogonalen Projektion steht somit {{math|v'}} orthogonal zu jedem Vektor {{math|w\in U}}, also {{math|\langle v', w\rangle {{=}} 0}}.
Schließlich folgt

: <math>f\vert_U(w)
  {{=}} \langle v, w\rangle
  {{=}} \langle u + v', w\rangle
  {{=}} \langle u, w\rangle + \langle v',w \rangle
  {{=}} \langle u, w\rangle_U,</math>

wobei die Bilinearität des Skalarprodukts eingeht.

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