Quelltext der Seite Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis/Variante

Sei <math>x \in A_D</math> gegeben. Dann ist einerseits <math>x=q+p \sqrt{D}</math> mit <math>p,q \in {\mathbb Q}</math> und andererseits ist <math>x</math> ganz über <math>\Z</math>. Damit ist auch die [[Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition|Konjugation]] <math>\bar{x}</math> ganz über <math>\Z</math>. Es folgt, dass sowohl die [[Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Definition|Norm]] <math>N(x)= x \bar{x} = q^2-D p^2 </math> als auch die [[Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Spur/Definition|Spur]] <math>S(x)= x + \bar{x}=2q</math> ganz über <math>\Z</math> sind. Da sie zugleich rationale Zahlen sind folgt

:<math> q^2- D p^2  \in {\mathbb Z} \text{ und } 2q \in {\mathbb Z}  \, .</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt, dass <math>q= n/2</math> ist mit <math>n \in \Z </math>. Sei <math>p=r/s</math> mit <math>r,s</math> teilerfremd und <math>s \geq 2</math>. Die erste Gleichung wird dann zu

:<math>\left(\frac{n}{2}\right)^2 - D \left(\frac{r}{s}\right)^2 = k \in \Z \,  </math>

bzw.

:<math> n^2 - 4 D \left(\frac{r}{s}\right)^2  = 4k \, . </math>

Dies bedeutet, da <math>r</math> und <math>s</math> teilerfremd sind, dass <math>4D</math> von <math>s^2</math> geteilt wird. Da ferner <math>D</math> quadratfrei ist, folgt, dass <math>s=1</math> oder <math>s=2</math> ist. Im ersten Fall ist <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2</math>, da <math>\Z</math> [[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition|normal]] ist, sodass <math>x \in \Z[\sqrt{D}]</math> ist.

Sei also <math>s=2</math>, was zur Bedingung 

:<math> n^2 - D r^2  = 4k \,  </math>

führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo <math>4</math>. Die einzigen Quadrate in <math>\Z/(4)</math> sind <math>0</math> und <math>1</math>, sodass für <math>D=2,3 \mod 4</math> keine Lösung existiert. Für <math>D=1 \mod 4</math> hingegen gibt es nur die Lösung <math>n=1 \mod 4 </math> und <math>r=1 \mod 4</math>. Diese Lösungen gehören alle zu <math>{\mathbb Z}\left[\frac{1+\sqrt{D}}{2}\right]</math>.

Die umgekehrte Inklusion <math>\Z[\sqrt{D}] \subseteq A_D</math> ist klar, sei also <math>D=1 \mod 4</math>. Dann ist aber

:<math> \left(\frac{1 + \sqrt{D}}{2}\right)^2 -2 \frac{1 + \sqrt{D}}{2}   
= \frac{1+ D +2 \sqrt{D}-2-2 \sqrt{D}}{4} = \frac{D-1}{4} 
  \in \Z \, , </math>

sodass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über <math> \Z </math> ergibt.<noinclude>[[Kategorie: Theorie der quadratischen Zahlbereiche/Beweise|Beschreibung]]
</noinclude>