Quelltext der Seite Projekt:Mathematik ist überall/Mengen/Lektionen/Mengenlehre

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[[Image:Venn diagram ABC RGB.png|right|thumb|Mengen, Mengen, Mengen ...]]
Diese Lektion soll die übliche [[w:Nomenklatur|Nomenklatur]] etwas lesbarer machen. Es ist also mehr „''Lektura''“ als „''Klatura''“.
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==Wichtige Mengen==
Es ist praktisch, einige Mengen als gegeben anzusehen, statt diese selbst ''herzuleiten''. Die natürlichen Zahlen sind so eine Menge, bei der sich die Herleitung am Anfang nicht „lohnt“. Hier zunächst einmal die Mengen.
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;<math>\mathbb N</math>
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;Menge der [[w:Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]]:Es ist oft erforderlich, anzugeben ob die 0 (Null) enthalten ist oder nicht. ''Eindeutig festgelegt ist weder das Eine noch das Andere''. Eindeutig wird die Angabe durch
::* <math> \N \setminus \, 0 \ </math>&nbsp; wenn die 0 (Null) ''nicht'' &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; enthalten sein soll.
::* <math> 0 \in \N \ </math> wenn die 0 (Null) ''unbedingt'' enthalten sein soll.
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;<math>\mathbb Z</math>
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;Menge der [[w:Ganze Zahl|ganzen Zahlen]].
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;<math>\mathbb Q</math>
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;Menge der [[w:Rationale Zahl|rationalen Zahlen]].
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;<math>\mathbb A</math>
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;Menge der [[w:Algebraische Zahl|algebraischen Zahlen]]:Hier endet die ''Abzählbarkeit''.
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;<math>\mathbb T</math>
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;Menge der [[w:Transzendente Zahl|transzendenten Zahlen]]:Hier beginnt die ''Überabzählbarkeit''.
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;<math>\mathbb R</math>
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;Menge der [[w:Reelle Zahl|reellen Zahlen]].
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;<math>\mathbb C</math>
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;Menge der [[w:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]].
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Natürlich erschließen sich die Eigenschaften von Mengen oft erst durch ihre Erzeugung. Allerdings würde das diese Lektion sehr unübersichtlich machen. Hier erst einmal eine Übersicht der Hierarchien. Mit Hilfe des Symbols „ <math>\subset</math> “ wird hier veranschaulicht, welche Menge ''echte'' [[w:Teilmenge|Teilmenge]] welcher anderen ist.

<math>\N \subset \Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb A \subset \mathbb R \ </math>

Außerdem gilt noch

<math> \mathbb T \subset \mathbb R \ </math>

und

<math> \mathbb R \subset \mathbb C \ </math>

Die komplexen Zahlen bestehen jeweils aus zwei Komponenten, einem ''imaginären'' und einem ''reellen'' Anteil. Die Komponenten stehen im rechten Winkel zueinander. Die Menge der komplexen Zahlen bildet die [[w:Gaußsche Zahlenebene|Gaußsche Zahlenebene]]. Sie sind ''hier'' nur aufgeführt, um die Zahlenmengen komplett aufzulisten.
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== Elemente und Mengen ==
Eine Menge besteht aus Elementen. Ein Element kann ''auch'' eine Menge sein.

Gegeben sei die Menge

<math> M = \{ 27 \ d \ 4 \} \ </math>

Der Inhalt der Menge kann beschrieben werden:

<math> 27 \in M \;, \ d \in M \; , \ 4 \in M \ </math>

Damit wird ausgedrückt, dass es sich bei 27, ''d'' und 4 um Elemente der Menge ''M'' handelt. Mehrere Elemente können auch zusammengefasst werden. Dabei muss aber genau auf die Schreibweise geachtet werden.

<math> ( 27 \; , \ d \; , \ 4 ) \in M \ </math>

Im Folgenden sei die Menge 

<math> M = \{ 27 \ \{ x \ 3 \ d \} \ 4 \} \ </math>

''M'' enthält immer noch drei ''Elemente''. Allerdings ist ''ein'' Element ebenfalls Menge (so wird ''mathematisch knapp'' ausgedrückt, dass es eine ''Eigenschaft'' des Elements ist, ''Menge'' zu sein).

Für die mathematische Beschreibung des Mengeninhalts der Menge ''M'' gilt nun:

<math> ( 27 \; , \ \{ x \ 3 \ d \} \; , \ 4 ) \in M \ </math>

Es gilt ''nicht'', dass <math> \{ x \ 3 \ d \} \ </math> Teilmenge von ''M'' ist.

Das Element „3“ aus dem Mengenelement ist ''kein'' Element der Menge ''M''. Ausgedrückt wird diese Tatsache durch

<math> 3 \notin \{ 27 \ \{ x \ 3 \ d \} \ 4 \} </math>
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==Mengen aus Mengen==
Die Inhalte von Mengen können selbst als Menge zusammengefasst werden. Es sind  dann ''Teil''mengen. Die naive Mengenlehre unterliegt der [[Projekt:Mathematik_ist_überall/Mengen#Die_Zermelo-Fraenkel-Axiomatik_der_Mengenlehre|Zermelo-Fraenkel-Axiomatik]] nur mit Einschränkungen. Deshalb wird hier ''streng'' zwischen Teilmenge und ''echter'' Teilmenge unterschieden. So sind die beiden Aussagen

<math> \{ 2 \} \subset \{ 1 \ 2 \ \{ 1\ 2 \ 3\} \} \ </math> und

<math> \{ 2 \} \subseteq \{ 1 \ 2 \ \{ 1\ 2 \ 3\} \} \ </math>

wahr. Wahr ist auch

<math> \{ 1 \ 2 \ \{ 1\ 2 \ 3\} \} \subseteq \{ 1 \ 2 \ \{ 1\ 2 \ 3\} \} \ </math> aber

<math> \{ 1 \ 2 \ \{ 1\ 2 \ 3\} \} \subset \{ 1 \ 2 \ \{ 1\ 2 \ 3\} \} \ </math> nicht.

In der naiven Mengenlehre enthält ''jede'' Menge sich selbst als Teilmene. Es gilt aber auch, dass ''echte'' Teilmenge jede Teilmenge der Menge ist, ''außer'' der Menge selbst. Die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik lässt die Bildung von Mengen, die sich selbst enthalten, nicht zu. Auf diese Tatsache wird hier nur hingewiesen, denn das Problem tritt nur sehr selten auf. Es gibt andere Axiomatiken (auch nicht naive), die nicht dieser (dafür aber anderen) unterliegen. Am einfachsten ist es, bei Relationen auf ''Echtheit'' zu achten.
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==Mengen mit Potenzial==
Mit Potenzial sind hier ''potentielle Möglichkeiten'' gemeint. Bei einer ''gegebenen'' Menge versteht sich dieser Begriff als Antwort auf die Frage:
:{{Zitat-Rahmen|TEXT=Was könnte aus dieser Menge noch gebildet werden?
|BILD=[[Image:Pictogram voting question.svg|right|100px]]}}
Damit ist die Menge aller Teilmengen gemeint, die in der ''gegebenen'' Menge vorhanden sind. Die Bezeichnung dafür ist [[w:Potenzmenge|Potenzmenge]].

Bei Mengen von größerer Mächtigkeit artet die Ermittlung in Arbeit aus. Mathematiker verabscheuen Tätigkeiten, die auf Wiederholungen von einfachen Vorgängen beruhen. Hier ist eine derartige Tätigkeit erforderlich. Stattdessen formulieren sie  lieber (sehr kurz) ''was'' zu tun ist. Die ''Potenzmenge'' der Menge

<math>
M = \{ a \ b \ c\}
</math>

ist

<math>
\mathcal P(M) = \{ 
\{\} \ 
\{a\} \ 
\{b\} \ 
\{c\} \ 
\{a \ b \} \ 
\{a \ c \} \ 
\{b \ c \} \ 
\{ a \ b \ c \}
\}
</math>

Die ''Potenzmenge'' enthält auch die leere Menge ''und'' die Ausgangsmenge als Element.
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==Leere Menge==
Die [[w:Leere Menge|leere Menge]] hat eine Sonderstellung. So gilt für ''jede'' Menge ''M''

<math>
\{\} \subseteq M
</math>

Es ist wirklich ''jede'' Menge gemeint, also auch die ''leere Menge''. Damit ist natürlich ''nicht'' gesagt, dass die leere Menge auch Element ''jeder Menge'' ist.

Entsprechend der Zermelo-Fraenkel-Axiomatik gibt es ''genau eine'' leere Menge „Ø“ (Ø  = <tt>{}</tt>). Um zwei gegebene Mengen auf Gleichheit zu überprüfen, muss ein gewisser Aufwand betrieben werden.
{{Zitat-Rahmen|TEXT=Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn ihre Elemente gleich sind ([[Projekt:Mathematik_ist_überall/Mengen#Die_Zermelo-Fraenkel-Axiomatik_der_Mengenlehre|ZF-Axiom: '''EXT''']]).}}

Nun haben aber leere Mengen keine Elemente. Es müssen die [[w:Potenzmenge|Potenzmengen]] gebildet werden. Seien ''A'' und ''B'' zwei Mengen ''ohne Elemente''. Damit gilt

für <math> \mathcal P(A) = \{\{\}\} = \{ \varnothing \} \ </math> und

für <math> \mathcal P(B) = \{\{\}\} = \{ \varnothing \} \ </math>

Noch ein wenig „''mathematische Folklore''“ in Form von

: „''Sind zwei Größen einer Dritten gleich, so sind sie auch einander gleich.''“

Das ist bei den Potenzmengen von ''A'' und ''B'' gegeben und damit auch für die Ausgangsmengen.

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==Mengen vergleichen und bearbeiten==
Um Mengen vergleichen zu können, werden sie zueinander ''in Relation'' gesetzt. Abgesehen von ''Größenvergleichen'', die bei Zahlen wichtig sind, gibt es in der Mengenlehre noch ''inhaltliche'' Vergleiche. Der Sammelbegriff für beide Arten lautet „Mengenrelationen“.
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===Element einer Menge===
Ob „etwas“ Element einer Menge ist, wird durch den ''Relativoperator'' <math> \in \ </math> ermittelt. Die Relation ist asymmetrisch in ihrer Formulierung ''und'' in ihrer Anwendung. Die Schreibweise 

<math>7 \in \{ B \ 6 \ 8 \ v \} \ </math> ist ''formal'' korrekt, aber

<math>\{ B \ 6 \ 8 \ v \} \in 7 \ </math> ist ''formal'' unkorrekt, weil „7“ keine Menge ist. Eine korrekte Formulierung wäre mit

<math>\{ B \ 6 \ 8 \ v \} \in \{7\} \ </math> gegeben.

Für die ''Ergebnisfindung'' gilt zwar ''in diesem Fall'' die Gleichheit, also:

<math>
\left( \{ B \ 6 \ 8 \ v \} \in \{7\} \right) = \left( \{7\} \in \{ B \ 6 \ 8 \ v \} \right)
</math>

aber es gilt ''nicht'', dass

<math>
\left( \{ B \ 6 \ 8 \ v \} \in \{7\} \right) \Rightarrow \left( \{7\} \in \{ B \ 6 \ 8 \ v \} \right).
</math>

Es ''kann'' vorkommen, dass beide Relationen gleiche Ergebnisse liefern, aber daraus zu ''folgern'', dass es auch ''andersrum'' geht ist ''falsch''.

===Enthaltensein===
Elemente sind in (nicht leeren) Mengen ''enthalten''. Die Aufzählung, dass das Element „a“, das Element „b“ usw. zu einer bestimmten Menge gehören, ist – wie unter [[#Elemente und Mengen|Elemente und Mengen]] zu sehen – sehr schreibaufwendig. Einfacher ist es, die betreffenden Elemente ihrerseits zu einer Menge zusammenzufassen.

So ist <math> \{ 6 \ v \} </math> eine Teilmenge von <math> \{ B \ 6 \ 8 \ v \} </math>. Es ist sogar eine ''echte'' Teilmenge. 

Formal korrekt wird das so aufgeschrieben: <math> \{ 6 \ v \} \subset \{ B \ 6 \ 8 \ v \} </math>

Andererseits ist <math> \{ B \ 6 \ 8 \ v \} </math> ''auch'' eine Teilmenge – aber eben keine ''echte''.

Geschrieben wird das als: <math> \{ B \ 6 \ 8 \ v \} \subseteq \{ B \ 6 \ 8 \ v \} </math>.

Es scheint fast selbstverständlich, dass die Mächtigkeiten der ''Teil''mengen ''nicht größer'' sein können, als die Mächtigkeit der Ausgangsmenge. Sei ''M'' die Ausgangsmenge, dann gilt für Mächtigkeit die ''Teil''mengen

<math>
|T_i| \le |M| \, ; \ i = 1 ... | \mathcal P(M) |
</math>

Es ist aber dennoch und durchaus der Erwähnung wert, wie der folgende Abschnitt zeigen wird. Denn die gemachte Überlegung zu den Mächtigkeiten ist in dieser Form ''leider nur'' für endliche Mengen sinnvoll.
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===Gleichheit===
Wenn zwei Mengen auf Gleichheit untersucht werden, werden in der ''naiven'' Mengenlehre zuerst die Mächtigkeiten verglichen und nach Feststellung der Übereinstimmung die einzelnen Elemente. Diese Vorgehensweise ist bei ''abzählbar unendlichen'' Mengen natürlich unmöglich. Das Attribut „abzählbar“ hat mit dem „Zählen der Elemente“ übrigens nichts zu tun.

Allgemein gilt für die Gleichheit zweier Mengen ''A'' und ''B'':

<math>
A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)
</math>

Damit wird ausgesagt:
{{Zitat-Rahmen|TEXT=‚A‘ und ‚B‘ sind genau dann gleich, wenn ‚A‘ Teilmenge von ‚B‘ ist und ‚B‘ Teilmenge von ‚A‘ ist.}}

Diese Formulierung erscheint doch sehr übertrieben. Aber das ist nur der erste Eindruck. Es wird zwar nicht ausdrücklich gesagt, aber damit ist ''auch'' ein Vergleich der Mächtigkeiten verbunden. So können auch ''abzählbar unendliche'' Mengen verglichen werden. Die Vorgehensweise ist dann natürlich nicht mehr ''naiv'' zu nennen.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist genau so mächtig, wie die Menge der rationalen Zahlen. Der Grund dafür ist, dass ''alle'' rationalen Zahlen auf die natürlichen Zahlen ''abgebildet'' werden können. Das zeigte ''Cantor'' in seinem [[w:Cantors erstes Diagonalargument|ersten Diagonalargument]]. Es gilt also

<math> | \mathbb Q | = | \N | \ </math> und außerdem <math> \N \subset \mathbb Q \ </math>.

Weil aber <math> \N \ne \mathbb Q \ </math> zweifellos stimmt, müsste mindestens ein Element aus <math> \mathbb Q \ </math> ''nicht'' in <math> \N \ </math> enthalten sein. Dann wäre <math> \mathbb Q \ </math> aber nicht mehr ''abzählbar''. Das ist ''ein'' Unterschied zwischen ''naiver'' und mathematischer Mengenlehre. [[w:David Hilbert|Hilbert]] folgend, fällt die Entscheidung auf die Beibehaltung der ''paradiesischen Zustände''.
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==Mengenoperationen==
Als Operation wird ''hier'' die Anwendung einer ''aktiven Handlung'' auf eine oder zwei Mengen verstanden. Es handelt sich also um eine ''Verknüpfung'', dessen Resultat eine (neue) Menge ist. Die Regeln zur Anwendung der folgenden Operatoren ist in der (Mengen)algebra festgelegt.
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{{:Fachbereich Informatik/Kurse/Box|Vereinigung|}}
[[Image:Venn-or-AB.svg|right|100px|thumb|<math> A \cup B \ </math>]]
<math> A \cup B = C \ </math>

Die Menge ''C'' enthält alle Elemente, die in Menge ''A'' oder in Menge ''B'' enthalten sind.

<math>A = \{a \ b \} \, , \ B = \{ a \ c \ d \} \ </math>

<math>
C = A \cup B = \{a \ b \} \cup \{ a \ c \ d \} = \{ a \ b \ c \ d \} \ 
</math>
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{{:Fachbereich Informatik/Kurse/Box|Schnitt|}}
[[Image:Venn-and-AB.svg|right|100px|thumb|<math> A \cap B \ </math>]]
<math> A \cap B = C \ </math>

Die Menge ''C'' enthält alle Elemente, die sowohl in Menge ''A'' als auch in Menge ''B'' enthalten sind.

<math>A = \{a \ b \} \, , \ B = \{ a \ c \ d \} \ </math>

<math>
C = A \cap B = \{a \ b \} \cup \{ a \ c \ d \} = \{ a \} \ 
</math>
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{{:Fachbereich Informatik/Kurse/Box|Differenz|}}
[[Image:Venn-not-AB.svg|right|100px|thumb|<math>A \setminus B \ </math>]]
<math>A \setminus B = C \ </math>

Einfach gesprochen: „ ''C'' ist ''A'' ohne ''B'' “.

Die Menge ''C'' enthält die Elemente aus ''A'', die nicht in ''B'' enthalten sind.

<math>A = \{a \ b \ c \ d \ e \} \, , \ B = \{ a \ b \ d \ f \ g \} \ </math>

<math>C = A \setminus B = 
\{a \ b \ c \ d \ e \} \setminus \{ a \ b \ d \ f \ g \}=
\{ c \ e \}
 \ </math>
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{{:Fachbereich Informatik/Kurse/Box|Komplement|}}
[[Image:Venn-cmp-AB.svg|right|thumb|100px|<math> A^C \ </math>]]
Zur Bildung der Komplement''menge'' bedarf es einer ''Bezugsmenge'', auf die sich das Komplement bezieht. Sei ''M'' die ''Bezugsmenge'' zu der das Komplement der Menge ''A'' gebildet wird, so ist das Ergebnis eine Teilmenge von ''M'' mit allen Elementen aus ''M'', die ''nicht'' in ''A'' sind.

<math> M = \{a \ b \ c \ d \ e \ f \} \ </math>

<math> A = \{b \ c \ e \} \ </math>

<math> A^C = \{a \ d \ f \} \ </math>
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{{:Fachbereich Informatik/Kurse/Box|Diskrepanz|}}
[[Image:Venn-xor-AB.svg|right|100px|thumb|<math>A \Delta B \ </math>]]
<math>A \Delta B = C \ </math>

Die Menge ''C'' enthält alle Elemente, die ''entweder'' in der Menge ''A oder'' in der Menge ''B'' enthalten sind.

<math> A = \{ a \ b \ c \ d \ e \} \ </math>

<math> B = \{c \ d \ e \ f \ g \} \ </math>

<math> C = A \Delta B = \{ a \ b \ c \ d \ e \} \Delta B 
\{c \ d \ e \ f \ g \} = \{a \ b \ f \ g \} \ </math>
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{{:Fachbereich Informatik/Kurse/Box|Produkt|}}
<math>A \times B = C \ </math>

Die Menge ''C'' enthält die Menge aller geordneten Paare der Mengen ''A'' und ''B''.

<math>A = \{a \ b \} \ </math>

<math>B = \{y \ z \} \ </math>

<math>C = A \times B = 
\{ (a, y) \ (a, z) \ (b, y) \ (b, z) \} \ </math>
{{Spaltensatz Ende}}

<br />
{{Spaltensatz Start}}
{{Doppelspalte}}
==Mengenalgebra==
Als [[w:Algebra|Algebra]] werden ''hier'' die „Regeln für die Bearbeitung von Mengen“ bezeichnet. Die Bezeichnet lautet daher einfach „Mengenalgebra“.
{| class="prettytable"
|-
! &nbsp; || [[w:Schnittmenge#Schnittmenge|Schnitt]] || [[w:Schnittmenge#Vereinigungsmenge|Vereinigung]]
|-
!
[[w:Idempotenz|Idempotenz]]
|<math>A \cap A = A \ </math> 
|<math>A \cup A = A \ </math>
|-
!
[[w:Kommutativgesetz|Kommutativ]]
|<math>A \cap B = B \cap A \ </math> 
|<math>A \cup B = B \cup A \ </math>
|-
!
[[w:Assoziativgesetz|Assoziativ]]
|<math>A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C \ </math>
|<math>A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C \ </math>
|-
!
[[w:Distributivgesetz|Distributiv]]
|<math>A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right) \ </math>
|<math>A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right) \ </math>
|-
!
[[w:Verband (Mathematik)|Absorptionsgesetz]]
|<math>A \cup (A \cap B) = A \ </math>
|<math>A \cap (A \cup B) = A \ </math>
|-
!
[[w:De Morgansche Gesetze|De Morgan]]
|<math> {\left(A \cap B \right)}^C = A^C \cup B^C \ </math>
|<math> {\left(A \cup B \right)}^C = A^C \cap B^C \ </math>
|}

==Eigenschaften einiger Zahlenmengen==
Die wichtigsten, weil am häufigsten genannten, Eigenschaften einiger bereits erwähnter Zahlenmengen sind hier kurz zusammengefasst.

{| class="prettytable"
! Zahlenmenge || Eigenschaften
|-
! valign="top" |
;<math> \N \ </math>:Menge der natürlichen Zahlen.
|
*Abzählbar unendlich
*Mächtigkeit <math>| \N | = \aleph_0 \ </math> Kardinalität ''aller'' abzählbaren Mengen.
*Mächtigkeit von <math>| \mathcal P(\N) | = 2^{\aleph_0} \, ; \ 2^{\aleph_0} \notin \N \ </math>. Oft auch als ''erste trans''finite Ordinalzahl <math> \omega \ </math> bezeichnet.
*Menge der ''finiten Ordinalzahlen''.
|-
! valign="top" |
;<math> \R \ </math>:Menge der reellen Zahlen.
|
*Überabzählbar unendlich (Kontinuum)
*Mächtigkeit <math>| \R | = \aleph_1 \ </math> Kardinalität der überabzählbaren Mengen ''erster Stufe''.
*Mächtigkeit von <math>| \mathcal P(\R) | = 2^{\aleph_1} = \aleph_2 \ </math>.
|-
! valign="top" |
;<math> \mathbb C \ </math>:Menge der komplexen Zahlen.
|
*Überabzählbar unendlich
*Mächtigkeit <math>| \mathbb C | = |\R \times \R| = \aleph_1 \ </math>.
|}

==Mengen abbilden==
Abbildungen sind ''mathematische Illustrationen'' und damit abstrakt. Mathematiker brauchen nicht einmal eine ''bildliche Darstellung'' für eine Abbildung, ihnen genügen zwei Mengen.

Eine Abbildung (im mathematischen Sinne) ist eine ''vorschriftsmäßige'' Zuordnung ''aller'' Elemente der einen Menge auf die Elemente ''einer'' anderen Menge. Wenn diese ''Mindest''voraussetzungen erfüllt sind, liegt eine ''Funktion'' vor.


===Elementare Eigenschaften von Abbildungen===
<gallery>
Bild:Abballg01.png|Eine Funktion <math> f:A \rightarrow B \ </math> ist
Bild:Surinj.png|'''surjektiv''' (franz. ''sur'': auf), wenn ''jedes'' Element von ''B'' als ''Bild'' dient. Es ist also eine Abbildung von ''A auf B'' vorhanden.
Bild:Injsur.png|'''injektiv''', wenn ''unterschiedliche'' Elemente von ''A'' auf ''unterschiedliche'' Elemente von ''B'' deuten.
Bild:Bijekiv.png|'''bijektiv''', wenn die Funktion ''f'' sowohl ''injektiv'' als auch ''surjektiv'' ist. Die Mengen ''A'' und ''B'' haben ''eindeutige Korrespondenz''.
</gallery>
{{Spaltensatz Ende}}