Quelltext der Seite Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Zyklus 1 Teilprojekt 1/Sek 1

Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1

== Modell 1 ==
* Beurteilung der Lüftungseffektivität durch Berechnung des Abstandes zu stark belüfteten Bereichen
* Je kleiner der Abstand zu stark belüfteten Bereichen, desto besser die Lüftungsqualität

=== Modellannahmen ===
* Darstellung des Raums als 2-Dimimensionales Rechteck (Vogelperspektive)
* Stark belüftete Bereiche sind Strecken zwischen Fenster und Tür, die alle gleich stark und gut belüftet werden


=== Berechnungen ===
Konstruktion Hilfsdreiecke von zu beurteilendem Raumpunkt <math> P </math> zu den Wänden.
===Geogebradatei, Hilfsdreieck===
[[File:Geogebradatei, Hilfsdreieck 1.jpg|250px|Anwendung von Pythagoras im Hilfsdreieck, zur Längen Bestimmung von c]]

=== Berechnungen ===

Die Strecken <math> a </math> und <math> b </math> sind im Koordinatensystem ablesbar.
Die Strecke <math> c </math> lässt sich mithilfe des [[w:Satz_des_Pythagoras|Satz des Pythagoras]] berechnen.

:<math> c =\sqrt{a^2+b^2}</math>


=== Berechnungen ===
Analog werden weitere Hilfsdreiecke konstruiert um <math> d </math> und <math> e </math> zu berechnen

[[File:Geogebradatei Klassenzimmer Abstand zur naechsten Lueftungsgeraden.png|600px|Abstand zur nächsten Lüftungsgeraden]]

===Berechnungen===

Der Winkel <math>\angle P, T\ddot{u}r, Fenster = \alpha </math> wird mithilfe des [[w:Kosinussatz|Kosinussatz]] berechnet.

:<math> \alpha = \arccos({{e^2+d^2-c^2} \over {2ed}}) </math>
[[File:Geogebradatei Klassenzimmer Abstand zur naechsten Lueftungsgeraden.png|350px|Abstand zur nächsten Lüftungsgeraden]]

=== Berechnungen ===
Der Abstand <math> s </math> von Punkt <math> P </math> zu der Strecke <math> e </math> ist durch die Länge der Senkrechten von <math> e </math> auf <math> P </math> gegeben. Diese Länge kann mithilfe des Sinus berechnet werden.
:<math> s= d \cdot sin{\alpha} </math>
[[File:Geogebradatei Klassenzimmer Abstand zur naechsten Lueftungsgeraden.png|350px|Abstand zur nächsten Lüftungsgeraden]]

== Modell 2 ==
Fragestellung: Welcher Bereich des Raumes erfährt den größten Luftmassenaustausch?

[[Datei:Verteilung des Luftmassenaustauschs im Klassenzimmer 2.png|550px|Verteilung des Luftmassenaustauschs im Klassenzimmer]]



=== Modellbildung ===
Vereinfachung/Annahmen:

* zweidimensionales Modell

* Im Bereich von Fenster 1 zur Tür herrscht der größte Volumenstrom, im Bereich zwischen Fenster 4 und Tür der kleinste.

* Überschneidungen der Flächen fließen additiv in das Modell ein.

* Kleine Bereiche neben den Fenstern erfahren einen Volumenstrom, allerdings kleiner als im direkten Lüftungsbereich.


=== Validierung ===

* Modell kann im Unterricht geprüft werden (Windmessgeräte)

* Übersicht über stark/schwach belüftete Raumpunkte in Abhängigkeit der Farbe 

* In diesem Modell keinen Luftaustausch in der unteren rechten Ecke oder zwischen den Fenstern

==Bewertung==

Ziel: Lüftungsqualität innerhalb eines Klassenzimmers untersuchen

===Modell 1===
Luftqualität zu allen Punkten der Ebene bestimmen -> allgemeines Ziel erreicht 
: Probleme/Modellgrenzen:
* kein guter Überblick über die Luftqualität im gesamten Raum
* Lüftungsbereiche nur Linien -> Vereinfachung ohne Aussagekraft zu verringern

===Modell 2===
Ziel: Schwächen des 1. Modells auszugleichen
* Luftströme als Flächen eingezeichnet mit unterschiedlich starker Lüftungsintensität -> bietet einen guten Überblick über die Luftqualität im gesamten Raum 

===Fazit===
* Beide Modelle tragen Ergebnis zur Fragestellung bei 
* 1. Modell: Schwerpunkt, einzelne Raumpunkte zu betrachten
* 2. Modell: Schwerpunkt, einen Gesamteindruck über die Luftqualität im gesamten Klassenzimmer zu erhalten

==Optimierung==
* Klassenraum zweidimensional -> dreidimensionale Modellierung: Aussage ob Luftstrom in den Bereichen größer ist, welche den Aerosol-Ausstoß betreffen
* Annahme, dass zwischen einem Fenster und der Tür der Volumenstrom gleichbleibt
* Modell 2: viele unbelüftete (im Modell weiße) Bereiche -> nicht komplett unbelüftet 
* weiße Bereiche in Fensternähe stärker belüftet als weiße Bereiche in der rechten unteren Raumecke
* Abstandsbetrachtung von Punkt zu der Gerade Tür-Fenster nur im gewissen Bereich sinnvoll (Lotfußpunkt liegt außerhalb)

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