Quelltext der Seite Kurs:Mathematik fuer Anwender/Komplement-, Vereinigungs- und Schnittmenge

=Komplement, Vereinigungs- und Schnittmenge=

==Definition: Komplement==

Es seien <math>M</math> und <math>N</math> Mengen.<br />
Die Teilmenge <math>M\setminus N:=\{x\mid x\in M\wedge x\notin N\}</math> von <math>M</math> nennen wir die '''Differenz''' der Mengen <math>M</math> und <math>N</math>. Ist <math>N</math> eine Teilmenge von <math>M</math> so heißt <math>M\setminus N</math> das '''Komplement''' der Menge <math>N</math> in der Menge <math>M</math>.<br />
<span class="nodecor">Formal:</span> <math>x\in M\setminus N \Leftrightarrow x\in M \wedge x\notin N</math>.

==Beispiel: Komplement==

* <math>\{1,2,3,4\}\setminus\{2,4\}=\{1,3\}</math>,
* <math>\{1,2,3,4\}\setminus\{2,4,6,8,10\}=\{1,3\}</math>,
* <math>\{</math>Stenotritidae, Colletidae, Melittidae, Megachilidae <math>\}\setminus\{</math>Colletidae, Melittidae, Ampulicidae<math>\}</math> = <math>\{</math>Stenotritidae, Megachilidae<math>\}</math>
* <math>\mathbb Z\setminus \mathbb N</math> ist die Menge aller echt negativen ganzen Zahlen.

==Bemerkung: Komplement==

Bezogen auf das Beispiel mit der Menge der Namen der vorkommenden Arten in einem Habitat kann die Differenz wie folgt angewendet werden: nehmen wir an, dass wir eine Menge A mit den Namen der vorkommeden Arten in Habitat 1 haben, und zusätzlich eine zweite Menge mit den Namen derjenigen Arten, die in Habitat 2 vorkommen. Durch Bildung der Differenz zwischen den Mengen A und B kann bestimmt werden, welche Arten lediglich in Habitat 1 vorkommen.

==Definition: Schnittmenge==

# Es seien <math>M</math> und <math>N</math> Mengen.<br />
Die Teilmenge <math>M\cap N:=\{x\mid x\in M\wedge x\in N\}</math> von <math>M</math> (und auch von <math>N</math>) nennen wir den '''Durchschnitt''' der Mengen <math>M</math> und <math>N</math>.<br />
<span class="nodecor">Formal:</span> <math>x\in M\cap N \Leftrightarrow x\in M \wedge x\in N</math>.

==Definition: Disjunkt==

Wir nennen zwei Mengen <math>M</math> und <math>N</math> genau dann '''disjunkt''', wenn <math>N\cap M=\varnothing</math> gilt.

==Beispiel: Schnittmenge==

* <math>\{1,2,3,4\}\cap\{2,4,6,8,10\}=\{2,4\}</math>
* <math>\bigcap\limits_{M\in \{\{1,2\},\{2,3\}\}} M=\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}</math>
* <math>\{1,2\}\cap\{\mathbb N\}=\{1,2\}\cap\{\{0,1,2,3,....\}\}=\varnothing</math>
* <math>\{1,2\}\cap\mathbb N=\{1,2\}\cap\{0,1,2,3,....\}=\{1,2\}</math>
* <math>\{</math>Stenotritidae, Colletidae, Melittidae, Megachilidae <math>\}\cap\{</math>Colletidae, Melittidae, Ampulicidae<math>\}</math> = <math>\{</math>Colletidae, Melittidae <math>\}</math>

==Bemerkung: Schnittmenge==

Bezogen auf obiges Beispiel mit den Menge der Namen der vorkommenden Arten in zwei Habitaten kann mit der Schnittmenge diejenigen Arten bestimmt werden, die sowohl in Habitat 1 als auch in Habitat 2 vorkommen.

==Definition: Vereinigungsmenge==

# Es seien <math>M</math> und <math>N</math> Mengen.<br />
Die Menge <math>M\cup N:=\{x\mid x\in M\vee x\in N\}</math> nennen wir die '''Vereinigung''' der Mengen <math>M</math> und <math>N</math>.<br />
<span class="nodecor">Formal:</span> <math>x\in M\cup N \Leftrightarrow x\in M \vee x\in N</math>.
# Es sei <math>\mathfrak M</math> eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Dann ist <math>\bigcup\limits_{M\in \mathfrak M}  M:=\{x\mid \exists M\in \mathfrak M:x\in M\}</math> die '''Vereinigung''' über (die Elemente von) <math>\mathfrak M</math>.<br />
<span class="nodecor">Formal:</span> <math>x\in \bigcup\limits_{M\in \mathfrak M}  M \Leftrightarrow \exists M\in \mathfrak M:x\in M</math>.

==Beispiel: Vereinigungsmenge==

* <math>\{1,2,3,4\}\cup\{2,4,6,8,10\}=\{1,2,3,4,6,8,10\}</math>
* <math>\bigcup\limits_{M\in \{\{1,2\},\{2,3\}\}} M =\{1,2\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}</math>
* <math>\{</math>Stenotritidae, Colletidae, Melittidae, Megachilidae <math>\}\cup\{</math>Colletidae, Melittidae, Ampulicidae<math>\}</math> = <math>\{</math>Stenotritidae, Colletidae, Melittidae, Megachilidae, Ampulicidae <math>\}</math>

==Bemerkung: Vereinigungsmenge==

Bezogen auf obiges Beispiel mit den Menge der Namen der vorkommenden Arten in zwei Habitaten kann mit der Vereiningungsmenge die Arten bestimmt werden, die entweder in Habitat 1 oder in Habitat 2 vorkommen.