Quelltext der Seite Kurs:Lineare Algebra I/Anwendungen des Gauß'schen Algorithmus (zur Wiederholung)

Vorbemerkung: Elementare Zeilenoperationen entsprechen einer Multiplikation mit einer regulären Matrix C von links, die sich auch durch die gleichen Zeilenoperatioen bestimmen lässt:

:::<math>(A | I_m) \Rightarrow ... \Rightarrow (CA | C)</math>

und analog für Spaltenoperationen:

:::<math>\begin{pmatrix} A \\ I_m \end{pmatrix} \Rightarrow ... \Rightarrow \begin{pmatrix} AC \\ C \end{pmatrix}</math>

Es gelten die folgenden Bezeichnungen: Sei <math>V</math> ein n-dimensionaler <math>K</math>-Vektorraum mit einer Basis <math>B = \{b_1, ..., b_n\}</math>.

Für eine Menge von Vektoren <math>v_1, ..., v_k \in V</math> gelte <math>v_j = a_{1j}b_1 + ... + a_{nj}b_n</math>, d.h. <math>(v_j)_B = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix}</math>. Der wichtigste Fall ist <math>V = K^n</math> und <math>B = I</math> die kanonische Basis. <math>A = (a_{ij}) \in Mat(n, k;K)</math> sei die Matrix aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren <math>v_1, ..., v_k</math>.

== Basisbestimmung ==
:''Gegeben'': <math>v_1, ..., v_k \in V</math> .
:''Gesucht'': Basis von <math>Lin(v_1, ..., v_k) \subset V</math> .
:''Verfahren'': Bringe <math>A^t</math> auf Zeilenstufenform ''Ã''<math>^t</math>. Die vom Nullvektor verschiedenen Spalten von ''Ã'' bilden die Koordinaten einer Basis.

== Basisauswahl ==
:''Gegeben'': <math>v_1, ..., v_k \in V</math> .
:''Gesucht'': Maximale linear unabhängige Teilmenge.
:''Verfahren'': Bringe ''A'' auf Zeilenstufenfom ''Ã''. Diejenigen Vektoren <math>v_j</math> , deren Index ''j'' einer Stufenspalte in ''Ã'' entspricht, bilden eine gesuchte Teilmenge.

== Basisergänzung ==
:''Gegeben'': <math>{v_1, ..., v_k} \subset V</math> linear unabhängig, sowie eine Basis ''B'' von ''V''.
:''Gesucht'': Vektoren <math>v_{k+1}, ..., v_n</math>, so dass <math>\{v_1, ..., v_n\}</math> eine Basis von ''V''.
:''Verfahren'': Bringe ''(A|B)'' auf Zeilenstufenfom ''Ã''. Diejenigen <math>b_j</math> der Basis ''B'', deren Index ''j'' die Eigenschaft hat, dass die ''(k + j)''-te Spalte von ''Ã'' eine Stufenspalte ist, bilden eine Basisergänzung.

== Rang und Basis des Bildes einer linearen Abbildung ==
:''Gegeben'': Sei <math>A = M(f)</math> eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung <math>f : V \rightarrow W</math>.
:''Gesucht'': <math>rg(f) := dim(Im(f))</math> und eine Basis vom <math>Im(f) = f(V )</math>.
:''Verfahren'': Bringe ''A'' in Spaltenstufenform ''Ã'', dann ist <math>rg(f)</math> die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilen von ''Ã'' und die Spalten von ''A'', deren Index Stufenindex von ''Ã'' ist, bilden eine Basis von <math>Im(f)</math>.

== Lösungsbasis eines homogenen Systems ==
:''Gegeben'': <math>Ax = 0</math>
:''Gesucht'': Basis vom Unterraum <math>\{x | Ax = 0\}</math>.
:''Verfahren'': Überführe <math>A^t</math> in eine Zeilenstufenform ''A' ''.
:::<math>(A^t | I_n) \Rightarrow ... \Rightarrow (A' | C) = \begin{pmatrix} A'_1 & | & C_1 \\ 0 & | & C_2 \end{pmatrix}</math>,
:dann sind die Zeilen von <math>C_2</math> eine Lösungsbasis.

== Basis des Kerns einer linearen Abbildung ==
:''Gegeben'': [[Kurs:Lineare_Algebra/Anwendungen_des_Gauß%27schen_Algorithmus_(zur_Wiederholung)#Rang_und_Basis_des_Bildes_einer_linearen_Abbildung|siehe (4.)]]
:''Gesucht'': Basis von <math>Ker(f) = f^{-1}(0)</math>.
:''Verfahren'': Bestimme eine Lösungsbasis von <math>Ax = 0</math>. Diese sind die Koordinaten einer Basis von <math>Ker(f)</math>.

== Inverse einer quadratischen Matrix ==
:''Gegeben'': <math>A \in Mat(n, n;K)</math>.
:''Gesucht'': <math>A^{-1}</math>, falls ''A'' invertierbar.
:''Verfahren'': Bringe <math>(A|\mathbb{E}_n)</math> auf reduzierte Zeilenstufenfom. Falls ''A'' invertierbar ist, hat die reduzierte Zeilenstufenform die Gestalt <math>(\mathbb{E}_n|A^{-1})</math>.

== Gleichungen eines Unterraumes aus den Erzeugenden ==
:''Gegeben'': <math>U = Lin(v_1, ..., v_k)</math>.
:''Gesucht'': Matrix <math>C \in Mat(p, n)</math> mit der Eigenschaft, dass <math>U = \{x | C \cdot (x)_B = 0 \}</math>; hierbei ist <math>p = n - dim(U)</math>.
:''Verfahren 1'': Bestimme Basislösungen von <math>A^tx = 0</math>. Die Basislösungen sind die Zeilen einer gesuchten Matrix ''C''.
:''Verfahren 2'': Bringe <math>(A|\mathbb{E}_n)</math> auf Zeilenstufenform ''Ã'' <math>\in Mat(n, k + n)</math>. Sei ''l'', <math>l \le k</math>, die Anzahl der Stufen unter den ersten ''k'' Spalten von ''Ã'', dann ist die rechte untere Teilmatrix von ''Ã'' des Formates <math>(n - l, n)</math> eine gesuchte Matrix ''C''.

== Basis des Durchschnitts zweier Unterräume aus deren Erzeugenden ==
:''Gegeben'': Erzeugende für zwei Unterräume <math>U_1</math> und <math>U_2</math> von <math>V</math> .
:''Gesucht'': Basis von <math>U_1 \cap U_2</math>.
:''Verfahren 1'': Bestimme Matrizen <math>C_1 \in Mat(p_1, n)</math> und <math>C_2 \in Mat(p_2, n)</math> zu <math>U_1</math> bzw. <math>U_2</math> [[Kurs:Lineare_Algebra/Anwendungen_des_Gauß%27schen_Algorithmus_(zur_Wiederholung)#Rang_und_Basis_des_Bildes_einer_linearen_Abbildung|nach (4.)]]. Dann liefert die Matrix <math>(C^t_1|C^t_2)^t \in Mat(p1 + p2, n)</math> ein Gleichungssystem für <math>U_1 \cap U_2</math>. Dessen Basislösungen sind die Koordinaten von einer gesuchten Basis, d.h. ihre Koeffizienten bzgl. ihrer Darstellung in ''B''.
:''Verfahren 2'': Bilde die Matrizen <math>A_1 \in Mat(n, k_1)</math> bzw. <math>A_2 \in Mat(n, k_2)</math> aus den Erzeugenden von <math>U_1</math> bzw. <math>U_2</math>. Bestimme die Matrix <math>C \in Mat(k_1+k_2, r)</math> der Basislösungen von <math>\mathcal{H}(A, 0)</math>, <math>A := (A_1|A_2)</math>. Sei <math>C_1 \in Mat(k_1, r)</math> die Teilmatrix von ''C'' der ersten <math>k_1</math> Zeilen, dann sind die Spalten von <math>A_1C_1 \in Mat(n, r)</math> die Koordinaten einer Basis von <math>U_1 \cap U_2</math>.

== Basis der Summe zweier Unterräume ==
:''Gegeben'': [[Kurs:Lineare_Algebra/Anwendungen_des_Gauß%27schen_Algorithmus_(zur_Wiederholung)#Gleichungen_eines_Unterraumes_aus_den_Erzeugenden|siehe (8.)]].
:''Gesucht'': Basis von <math>U_1 + U_2</math>.
:''Verfahren'': Bestimme aus der Vereinigung der Erzeugenden [[Kurs:Lineare_Algebra/Anwendungen_des_Gauß%27schen_Algorithmus_(zur_Wiederholung)#Basisbestimmung|nach (1.)]] oder [[Kurs:Lineare_Algebra/Anwendungen_des_Gauß%27schen_Algorithmus_(zur_Wiederholung)#Basisauswahl|(2.)]] eine Basis.

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