Quelltext der Seite Kryptologie/Satz von Euler

{{DISPLAYTITLE:Satz von Euler}}

== Einleitung ==
Der Satz von Euler ist eine Verallgemeinerung des kleinen Satzes von Fermat. Während der kleine Satz von Fermat nur für Primzahlen gilt, kann der Satz von Euler auf beliebige natürliche Zahlen <math>n</math> angewendet werden, die teilerfremd zur Basis <math>a</math> sind<ref name=":0" />. Der Satz von Euler ist der zentrale Satz zum Beweis der Korrektheit des RSA-Kryptosystems<ref>Rivest, R. L., Shamir, A., & Adleman, L. (1978). A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems. Communications of the ACM, 21(2) (S. 120–126). S. 123.</ref>. Außerdem werden wir ihn nutzen, um einen weiteren Satz für die Korrektheit des RSA-Kryptosystems zu zeigen, nämlich dem chinesischen Restsatz.

== Satz von Euler ==
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="float:right; text-align:left"
!'''Größte gemeinsame Teiler, (Satz 1) Eulersche''' <math>\varphi</math>-Funktion

und kleine Satz von Fermat
|-
!'''[[Kryptologie/Größte gemeinsame Teiler#Definition Gr%C3%B6%C3%9Fter gemeinsamer Teiler|Größte gemeinsame Teiler]]'''
|-
|Seien <math>a, b \in \Z</math>, wobei mindestens eine der beiden Zahlen ungleich Null.
Wir bezeichnen <math>d:= ggT(a,b)</math> mit <math>d \in \N</math> als den größten gemeinsamen

Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, falls gilt:

<math>(1)</math>: <math>d \mid a</math> und <math>d \mid b</math>

und

<math>(2)</math>: Für alle <math>c \in \Z</math> mit <math>c \mid a</math> und <math>c \mid b \Rightarrow c \leq d</math><ref name=":7">Burton, D. M., & Dalkowski, H. (2005). ''Handbuch der elementaren Zahlentheorie mit über 1000 Übungsaufgaben und ihren Lösungen.'' Lemgo: Heldermann Verlag. S. 24.</ref>.
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![[Kryptologie/Eulersche φ-Funktion#Eulersche %CF%86-Funktion|Eulersche <math>\varphi</math>-Funktion]]
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|Für die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion gilt: <math>\varphi(n) \; := \mid G_n \mid</math><ref name=":323">Kryptologie - Mathematische Vertiefung (PH Freiburg SS 2017). (5. Dezember 2019). ''Wikiversity,'' . Abgerufen am 8. Januar 2020, 12:14 von <nowiki>https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Kryptologie_-_Mathematische_Vertiefung_(PH_Freiburg_SS_2017)&oldid=605650</nowiki>. (Formulierung verändert)</ref><ref name=":422">Stroth, G., & Waldecker, R. (2019). ''Elementare Algebra und Zahlentheorie'' (2. Aufl.). Birkhäuser Basel. S. 77.</ref> mit
<math>G_n := \; \{a\in\N \, |\, 1 \le a \le n \land \operatorname{ggT}(a,n) = 1 \} </math><ref name=":024">Seite „Eulersche Phi-Funktion“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 24. August 2019, 16:52 UTC. URL: <nowiki>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Eulersche_Phi-Funktion&oldid=191644019</nowiki> (Abgerufen: 7. Januar 2020, 09:45 UTC; Formulierung verändert)</ref><ref name=":422" />.
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![[Kryptologie/Eulersche φ-Funktion#Satz%201%20Eigenschaft%20der%20'%22%60UNIQ--postMath-00000029-QINU%60%22'-Funktion%20bei%20Primzahlen|Satz 1 Eigenschaft der <math>\varphi</math>-Funktion bei Primzahlen]]
|-
|Sei <math>p </math> prim, dann gilt: <math>\varphi (p) = p - 1</math><ref name=":024" /><ref name=":232">Wätjen, D. (2018). ''Kryptographie: Grundlagen, Algorithmen, Protokolle''. Springer-Verlag. S. 42.</ref>.
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![[Kryptologie/Fermat-Test (Primzahltest 2)#Satz%20(Kleiner%20Satz%20von%20Fermat)|Kleiner Satz von Fermat]]
|-
|Für jede Primzahl <math>p</math> und jede dazu teilerfremde natürliche Zahl <math>a</math> ist

folgende ''Kongruenz'' erfüllt: <math>a^{p-1}\equiv 1 \bmod p</math><ref name=":133">Seite „Fermatscher Primzahltest“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 7. März 2017, 21:10 UTC. URL: <nowiki>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Fermatscher_Primzahltest&oldid=163373890</nowiki> (Abgerufen: 23. Dezember 2019, 11:46 UTC; Formulierung verändert)</ref><ref name=":226">Oswald, N., & Steuding, J. (2015). ''Elementare Zahlentheorie: Ein sanfter Einstieg in die höhere Mathematik''. Springer Spektrum. S. 129.</ref>.
|}
Seien <math>a, n \in \N</math> und <math>\operatorname{ggT}(a, n) = 1</math>, dann gilt <math>a^{\varphi(n)} \equiv 1 \bmod n</math><ref name=":0">„Satz von Euler“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 27. März 2019, 10:16 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Satz_von_Euler&oldid=186980132 (Abgerufen: 25. November 2019, 10:25 UTC; Formulierung verändert)</ref><ref>Euler, L. (1763). ''Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata''. ''8'' (S. 74–104). S. 102.</ref>.

''Bemerkung: Für prime Moduli <math>p</math> gilt nach Satz 1 Eigenschaft der Eulerschen <math>\varphi</math>-Funktion bei Primzahlen <math>\varphi(p) = p-1</math>, also geht für diese der Satz von Euler in den kleinen Satz von Fermat über<ref name=":0" />.''

== Beweis Satz von Euler ==

=== Teil 1 ===
Wir zeigen zunächst die Aussage: wenn <math>p</math> prim, dann gilt <math>p \nmid a</math> mittels vollständiger Induktion nach <math> k</math>.

''Bemerkung: Bei der vollständigen Induktion wird eine Aussage in der Regel für alle natürlichen Zahlen bewiesen. Dabei beginnt man bei einem Startwert (meist <math>0</math> oder <math>1</math>) und zeigt, dass die Aussage für diesen Startwert gilt. Man nennt dies den Induktionsanfang. Anschließend wird während des Induktionsschritts gezeigt, dass wenn die Aussage für eine Zahl gilt, dann gilt sie auch für die nächstgrößere Zahl<ref>Seite „Vollständige Induktion“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 20. Dezember 2019, 06:00 UTC. URL: <nowiki>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vollst%C3%A4ndige_Induktion&oldid=195068438</nowiki> (Abgerufen: 12. Januar 2020, 09:16 UTC; Formulierung verändert)</ref><ref>Schäfer, W., Georgi, K., & Trippler, G. (1999). ''Mathematik-Vorkurs—Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger''. Vieweg+Teubner. S. 102.</ref>.''

Seien <math> p </math> prim und <math> p \nmid a</math>, dann soll gelten

<math> a^{\varphi(p^k)} \equiv 1 \bmod p^k</math> für <math> k \in \N^+</math>.
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="float:right; text-align:left"
!'''Eulersche''' <math>\varphi</math>-Funktion, Kongruenz, wichtige Sätze 

und der Binomialkoeffizient
|-
![[Kryptologie/Eulersche φ-Funktion#Eulersche %CF%86-Funktion|Eulersche <math>\varphi</math>-Funktion]]
|-
|Für die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion gilt: <math>\varphi(n) \; := \mid G_n \mid</math><ref name=":323" /><ref name=":422" /> mit
<math>G_n := \; \{a\in\N \, |\, 1 \le a \le n \land \operatorname{ggT}(a,n) = 1 \} </math><ref name=":024" /><ref name=":422" />.
|-
![[Kryptologie/Kongruenzen#Definition Kongruenz|Kongruenz]]
|-
|Seien <math>a, b \in \Z</math> und <math>m \in \N</math>, dann gilt <math>a \equiv b \bmod m\Leftrightarrow m \mid (a-b)</math><ref name=":3222">Buchmann, J. (2016). Einführung in die Kryptographie (6. Aufl.). Berlin, Heidelberg: Springer. S. 37.</ref>.
|-
![[Kryptologie/Eulersche φ-Funktion#Satz%201%20Eigenschaft%20der%20'%22%60UNIQ--postMath-00000029-QINU%60%22'-Funktion%20bei%20Primzahlen|Satz 1 Eigenschaft der <math>\varphi</math>-Funktion bei Primzahlen]]
|-
|Sei <math>p </math> prim, dann gilt: <math>\varphi (p) = p - 1</math><ref name=":024" /><ref name=":232" />.
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![[Kryptologie/Fermat-Test (Primzahltest 2)#Satz%20(Kleiner%20Satz%20von%20Fermat)|Kleiner Satz von Fermat]]
|-
|Für jede Primzahl <math>p</math> und jede dazu teilerfremde natürliche Zahl <math>a</math> ist
folgende ''Kongruenz'' erfüllt: <math>a^{p-1}\equiv 1 \bmod p</math><ref name=":133" /><ref name=":226" />.
|-
![[Kryptologie/Eulersche φ-Funktion#Satz%203%20Eigenschaft%20der%20'%22%60UNIQ--postMath-00000097-QINU%60%22'-Funktion%20bei%20Primzahlen|Satz 3 Eigenschaft der <math>\varphi</math>-Funktion bei Primzahlen]]
|-
|Seien <math>p </math> prim und <math>k \in \N</math> mit <math>k > 0</math>, dann gilt: <math>\varphi(p^k) = p^{k}\left(1-\frac1{p}\right)</math><ref name=":024" /><ref name=":232" />.
|-
![[w:Binomischer_Lehrsatz|Binomischer Lehrsatz]]<ref name=":5">Seite „Binomischer Lehrsatz“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 28. Dezember 2019, 11:23 UTC. URL: <nowiki>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Binomischer_Lehrsatz&oldid=195279006</nowiki> (Abgerufen: 10. Januar 2020, 14:31 UTC; Formulierung verändert)</ref>
|-
|Für alle Elemente <math>x</math> und <math>y</math> eines kommutativen monoiden Rings und für 

alle natürlichen Zahlen <math>n\in\mathbb N</math> gilt die Gleichung

<math> (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \quad (1)</math>.<ref name=":5" /><ref>Reiss, K., & Schmieder, G. (2014). ''Basiswissen Zahlentheorie: Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche'' (3. Aufl.). Springer Spektrum. S. 44.</ref>
|-
![[w:Binomischer_Lehrsatz|Binomialkoeffizient]]<ref name=":5" />
|-
|Seien <math>n,k \in \N</math>, dann gilt:

<math> \binom{n}{k} = \frac{n \cdot (n-1) \dotsm (n-k+1)}{1 \cdot 2 \dotsm k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot{k!}}</math><ref name=":5" /><ref>Witt, K.-U. (2001). Binomialkoeffizienten. In K.-U. Witt (Hrsg.), ''Algebraische Grundlagen der Informatik: Zahlen—Strukturen—Codierung—Verschlüsselung'' (S. 145–148). Vieweg+Teubner Verlag. S. 145.</ref>
|}
Wir zeigen nun durch vollständige Induktion, dass die ''Kongruenz'' <math> a^{\varphi(p^k)} \equiv 1 \bmod p^k</math>  korrekt ist.

''Induktionsanfang'' 

Wir beginnen mit <math> k = 1</math>.

<math> a^{\varphi(p^k)} \equiv 1 \bmod p^k</math>

<math> \Leftrightarrow a^{\varphi(p)} \equiv 1 \bmod p</math>, für <math> k = 1</math>

<math> \Leftrightarrow a^{p-1} \equiv 1 \bmod p</math>, nach ''Satz 1 der Eigenschaft für <math> \varphi</math>-Funktionen'' <math> p-1 = \varphi(p)</math>

Dies ist genau der ''kleine Satz von Fermat'', welchen wir bereits bewiesen haben.

''Induktionsvoraussetzung''

Wir nehmen an, dass <math> a^{\varphi(p^k)} \equiv 1 \bmod p^k</math> für ein festes <math> k \in \N</math> mit <math>k > 0</math> gilt.

''Induktionsbehauptung''

Wir wollen zeigen, dass <math> a^{\varphi(p^{k+1})} \equiv 1 \bmod p^{k+1}</math> gilt.

''Induktionsschritt''

Nach der ''Kongruenz'' gilt folgende Äquivalenz der Induktionsvoraussetzung:

<math> a^{\varphi(p^{k})} \equiv 1 \bmod p^{k} \Leftrightarrow a^{\varphi(p^{k})} = x \cdot p^k + 1</math> mit <math> x \in \Z</math> und ''Satz 3 der eulerschen <math> \varphi</math>-Funktion'' gilt <math>\varphi(p^k) = p^{k}\left(1-\frac1{p}\right)</math>. 

Für <math>p^{k+1}</math> folgt unter erneuter Verwendung von ''Satz 3 der eulerschen <math> \varphi</math>-Funktion''

<math>\varphi(p^{k+1}) = p^{k+1}\left(1-\frac1{p}\right) = p \cdot \varphi(p^{k}) </math>.

Wir können <math> a^{\varphi(p^{k+1})} </math> nun umschreiben:

<math> a^{\varphi(p^{k+1})} </math>

<math> = a^{p\varphi(p^{k})}\quad
</math>, da <math>\varphi(p^{k+1}) =p \cdot \varphi(p^{k}) </math>

<math> = a^{\varphi(p^{k})^p} \quad
</math>

<math> = (1+x\cdot p^k)^p \quad
</math>, nach <math> a^{\varphi(p^{k+1})} = x \cdot p^k + 1</math>

Nun kann man den ''binomischen Lehrsatz'' anwenden, da es sich bei dem ''Restklassenring'' <math>(\Z/m\Z, \oplus, \odot)</math> um einen ''kommutativen Ring'' handelt, wobei [[...|<math>(\Z/m\Z, \odot)</math>]] ein ''Monoid'' ist (siehe [[Kryptologie/Restklassenring#Aufgabe 1|Lernaufgabe]]). 

Also

<math> (1+x\cdot p^k)^p = 1 +\binom{p}{1} (xp^k)+\binom{p}{2}(xp^k)^2+ \dots + \binom{p}{p-1}(xp^k)^{p-1}+(qp^k)^p 
</math>

Betrachten wir nun die Summen

<math> \binom{p}{2}(xp^k)^2+ \dots + \binom{p}{p-1}(xp^k)^{p-1}+(qp^k)^p 
</math>, <math> \binom{p}{1} (xp^k)
</math> und <math>1</math> getrennt voneinander.

Es gilt 

<math> \binom{p}{2}(xp^k)^2+ \dots + \binom{p}{p-1}(xp^k)^{p-1}+(qp^k)^p \equiv 0 \bmod p^{k+1}
</math>, da jeder der Summanden aus einem Faktoren <math> (xp^k)^i
</math> mit <math>i \in \{2, 3, ... p\}</math> und einem ''Binomialkoeffizienten'' besteht und der Faktor <math> (xp^k)^i
</math> immer von <math>p^{k+1}</math> teilbar ist und lediglich mit einer natürlichen Zahl (dem zugehörigen ''Binomialkoeffizienten'') multipliziert wird.

Wir müssen nun also nur noch die beiden Summanden <math> \binom{p}{1} (xp^k)
</math> und <math>1</math> betrachten.

Da <math> \binom{p}{1} =\left ( \frac{p!}{(p-1)! \cdot 1!} \right ) = p 
</math>, ist <math> \binom{p}{1} (xp^k) = xp^{k+1}
</math> . 

Es gilt: <math> p^{k+1} \mid qp^{k+1} 
</math>.

Wir wissen nun also, dass

<math> \binom{p}{1} (xp^k) + \binom{p}{2}(xp^k)^2+ \dots + \binom{p}{p-1}(xp^k)^{p-1}+(qp^k)^p \equiv 0 \bmod p^{k+1}
</math> 

und nach hinzufügen des Summanden <math>1</math>:

<math> 1 + \binom{p}{1} (xp^k) + \binom{p}{2}(xp^k)^2+ \dots + \binom{p}{p-1}(xp^k)^{p-1}+(qp^k)^p \equiv 1 \bmod p^{k+1}
</math>.

Wir haben also gezeigt, dass gilt:

<math> a^{\varphi(p^{k+1})} \equiv 1 \bmod p^{k+1}
</math>

und die vollständige Induktion ist abgeschlossen.
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="float:right; text-align:left"
!'''Primfaktorzerlegung, Teilerfremdheit, (Multiplikativität für Primzahlen der)''' 
'''Eulersche''' <math>\varphi</math>-Funktion und Folgerung aus Lemma 4 des <math>ggT</math>
|-
![[Kryptologie/Primzahl(-eigenschaften)#Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]]
|-
|Sei <math>n \in \N</math> mit <math>n > 1</math>, dann ist <math>n</math> als Produkt von Primzahlen darstellbar und wir nennen diese
Primfaktorzerlegung. Es gilt <math>n = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_i</math>mit <math>i \in \N</math>.

Die Darstellung ist, abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren, eindeutig<ref name=":0222">Ziegenbalg, J. (2015). ''Elementare Zahlentheorie: Beispiele, Geschichte, Algorithmen'' (2., überarb. Aufl). Springer Spektrum. S. 66.</ref>.
|-
![[Kryptologie/Teilbarkeit und Teilerfremdheit#Definition Teilerfremdheit|Teilerfremdheit]]
|-
|Zwei ganze Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, wobei mindestens einer der beiden Zahlen ungleich Null ist,
heißen teilerfremd, wenn <math>ggT(a,b)=1</math><ref name=":923">Burton, D. M., & Dalkowski, H. (2005). Handbuch der elementaren Zahlentheorie mit über 1000 Übungsaufgaben und ihren Lösungen. Heldermann Verlag. S. 26.</ref>. Betrachten wir mehr als zwei Zahlen, dann

nennen wir diese ''paarweise teilerfremd'', wenn je zwei beliebige von diesen Zahlen zueinander

teilerfremd sind<ref name=":55">Seite „Teilerfremdheit“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 26. September 2019, 13:33 UTC. URL: <nowiki>https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Teilerfremdheit&oldid=192615323</nowiki> (Abgerufen: 10. Januar 2020, 13:56 UTC)</ref><ref name=":923" />.
|-
![[Kryptologie/Eulersche φ-Funktion#Eulersche %CF%86-Funktion|Eulersche <math>\varphi</math>-Funktion]]
|-
|Für die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion gilt: <math>\varphi(n) \; := \mid G_n \mid</math><ref name=":323" /><ref name=":422" /> mit
<math>G_n := \; \{a\in\N \, |\, 1 \le a \le n \land \operatorname{ggT}(a,n) = 1 \} </math><ref name=":024" /><ref name=":422" />.
|-
![[Kryptologie/Eulersche φ-Funktion#Satz%202%20Multiplikativit%C3%A4t%20von%20'%22%60UNIQ--postMath-00000059-QINU%60%22'%20f%C3%BCr%20Primzahlen|Multiplikativität der eulerschen <math>\varphi</math>-Funktion für Primzahlen]]
|-
|Seien <math>p</math> und <math>q</math> prim und <math>p \neq q</math>, dann gilt <math>\varphi(p \cdot q) = \varphi(p) \cdot \varphi(q) </math><ref name=":323" /><ref name=":232" />.
|-
![[Kryptologie/Größte gemeinsame Teiler#Folgerung%20aus%20Lemma%204|Folgerung aus Lemma 4 des <math>ggT</math>]]
|-
|Gilt <math>a \mid c</math> und <math>b \mid c</math> mit <math>ggT(a,b) = 1</math>, dann folgt <math>ab \mid c</math><ref name=":82">Burton, D. M., & Dalkowski, H. (2005). Handbuch der elementaren Zahlentheorie mit über 1000 Übungsaufgaben und ihren Lösungen. Lemgo: Heldermann Verlag. 27.</ref>.
|}

=== Teil 2 ===
Nun wählen wir eine Zahl <math>n \in N</math> mit <math>ggT(a,n) = 1</math> und folgender ''Primfaktorzerlegung'': 

<math>n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_s^{k_s}</math>.

Da <math>a </math> und <math>n</math> ''teilerfremd'' sind, kann auch keiner der Primfaktoren <math>p_j</math> mit <math>j \in \{1, 2, \dots , s\}</math> ein Teiler von <math>a </math> sein.

Wir erhalten die Kongruenz:

<math>a^{\varphi(p_j^{k_j})} \equiv 1 \bmod p_j^{k_j}</math> mit <math>j \in \{1, 2, \dots , s\}</math>.

Nun nutzen wir die ''Multiplikativität der eulerschen <math>\varphi</math>-Funktion'':

<math>\varphi(n) = \varphi(p_1^{k_1}) \cdot \varphi(p_2^{k_2}) \cdot ... \cdot \varphi(p_s^{k_s})</math>, also ist jeder Faktor <math>\varphi(p_j^{k_j})</math> ein Teiler von <math>\varphi(n)</math>.

Daher gilt nicht nur <math>a^{\varphi(p_j^{k_j})} \equiv 1 \bmod p_j^{k_j}</math>, sondern auch

<math>a^{\varphi(n)} \equiv 1 \bmod p_j^{k_j}</math> mit <math>j \in \{1, 2, \dots , s\}</math>.

Da die Primfaktorpotenzen <math>p_j^{k_j}</math> ''paarweise'' ''teilerfremd'' sind, gilt nach der ''Folgerung aus Lemma 4 des ggT'' :

<math>a^{\varphi(n)} \equiv 1 \bmod p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_s^{k_s} </math>,

und da

<math>n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_s^{k_s}</math>

die ''Primfaktorzerlegung'' von <math>n</math> ist, gilt

<math>a^{\varphi(n)} \equiv 1 \bmod n </math>.

Wir haben somit den ''Satz von Euler'' bewiesen■<ref>Burton, D. M., & Dalkowski, H. (2005). Handbuch der elementaren Zahlentheorie mit über 1000 Übungsaufgaben und ihren Lösungen. Heldermann Verlag, S. 153f.</ref>

== Lernempfehlung ==
{| class="wikitable" style="margin: auto;text-align:center;"
|+[[Kryptologie#Kurs%C3%BCbersicht|Kursübersicht]]
! colspan="3" |Übergeordnete Lerneinheit
|-
| colspan="3" |[[Kryptologie/Korrektheit des RSA-Verschlüsselungsverfahrens|8: Korrektheit des RSA-Verschlüsselungsverfahrens]]
|-
!Vorherige Lerneinheit
!Aktuelle Lerneinheit
!Empfohlene Lerneinheit
|-
|[[Kryptologie/Korrektheit des RSA-Verschlüsselungsverfahrens|8: Korrektheit des RSA-Verschlüsselungsverfahrens]]
|[[Kryptologie/Satz von Euler|8.1: Satz von Euler]]
|[[Kryptologie/Chinesischer Restsatz|8.2: Chinesischer Restsatz]]
|}

== Literatur ==
<references/>
__NICHT_INDEXIEREN__
__ABSCHNITTE_NICHT_BEARBEITEN__