Quelltext der Seite Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT (zwei Elemente)/Fakt/Beweis

Sei  <math> I=(a,b)</math> das von den Elementen <math> a </math> und <math> b </math> erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element <math> d </math> mit <math> I=( d)</math>. Wir behaupten, dass <math> d </math> ein größter gemeinsamer Teiler von <math> a </math> und <math> b </math> ist. Die Inklusionen <math>(a),(b) \subseteq I=(d) </math> zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Sei <math> e </math> ein weiterer gemeinsamer Teiler von <math>a </math> und <math> b </math>. Dann ist <math>(a) \subseteq (e) </math> und <math> (b) \subseteq (e) </math>, also insgesamt <math> (d)=I \subseteq (e) </math>, was wiederum <math> e \, |\, d </math> bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus <math> d \in I=( a,b)  </math>.

Im teilerfremden Fall ist  <math> I=(a,b)=R </math>.<noinclude>[[Kategorie: Teilbarkeitstheorie in Hauptidealringen/Beweise|Darstellung]]
</noinclude>