Quelltext der Seite Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis2

Wenn die Exponentbedingung erfüllt ist, so its <math>s_i -r_i \geq 0</math> und man kann schreiben

:<math>b=vu^{-1} p_1^{s_1-r_1} \cdots p_k^{s_k-r_k}\, ,</math>

was die Teilbarkeit bedeutet. Sei umgekehrt <math>b=ac</math>. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über <math>\sum_{i=1}^k r_i</math>, also über die Länge der Primfaktorzerlegung. Fixiere ein <math>i</math> bzw. <math>p_i</math>. Bei <math>r_i=0</math> ist nichts zu zeigen, sei also <math>r_i \geq 1</math>. Dann ist <math>a</math> ein Vielfaches von <math>p_i</math> und damit ist auch <math>b</math> ein Vielfaches von <math>p_i</math>. Da <math>p_i</math> zu allen <math>p_j</math>, <math>j \neq i</math>, teilerfremd sind, gilt nach dem [[Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Lemma von Euklid]], dass <math>p_i \,|\, p_i^{s_i}</math>. Also ist <math>s_i \geq 1</math> und wir können beidseitig mit <math>p_i</math>f kürzen und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung.<noinclude>[[Kategorie: Teilbarkeitstheorie in Hauptidealbereichen/Beweise|Exponenten]]</noinclude>