Quelltext der Seite Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Liegt nur auf einer Komponente/Fakt/Beweis

Da <math>P \in C</math> wissen wir, dass <math>F(P)=0</math>. Weiterhin, weil <math>P</math> glatter Punkt der Kurve, ist ohne Einschränkung <math>\frac{\partial F}{\partial X}(P) \neq 0</math>.

Mit Kettenregel gilt <math>\frac{\partial F}{\partial X}(P) = \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial F_k}{\partial X}(P)\cdot F_1(P)\cdots 
F_{k-1}(P) \cdot F_{k+1}(P)\cdots F_n(P)</math>.

Wenn für <math>i \neq j</math> gilt, dass <math>F_i(P) = F_j(P) = 0</math>, dann hat jedes Produkt einen Nullfaktor
<math>\Rightarrow \frac{\partial F}{\partial X}(P)=0</math>, Widerspruch!