Quelltext der Seite Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist 1 durch sin y/Aufgabe/Kommentar

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Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}}
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Die Differentialgleichung weist getrennte Variablen auf der Form {{math|h(y) {{=}} \frac{1}{\sin y} }} und {{math|g(t) {{=}} 1}}. In dieser Differentialgleichung taucht {{math|t}} also gar nicht auf, aber wir werden sehen, dass die Lösungen dennoch von {{math|t}} abhängen.

Mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen wählen wir {{math|H(y)}} als eine Stammfunktion von {{math|\frac{1}{h(y)} {{=}} \sin(y) }}. Daher ist {{math|H}} von der Form {{math|H(y) {{=}} -\cos(y) + c}} für eine beliebige Integrationskonstante {{math|c}}. Außerdem ist {{math|G(t) {{=}} t + b}} eine Stammfunktion von {{math|g(t)}} mit Integrationskonstante {{math|b}}.

Nach dem Lösungsansatz sind die Lösungen nun von der Form {{math|y(t) {{=}} H^{-1}(G(t))}}.
Dazu müssen wir die Umkehrfunktion von {{math|H}} bestimmen.
Durch Auflösen von {{math|H(y) {{=}} z}} nach {{math|y}} ergibt sich dabei {{math|y {{=}} \arccos(-z+c) {{=}} H^{-1}(z) }}.

Daraus folgt {{math|H^{-1}(G(t)) {{=}} \arccos(-t - b + c)}}. Dabei fällt auf, dass wir die Konstanten {{math|b,c}} zu einer einzelnen Konstanten {{math|C {{=}} -b+c}} zusammenfassen können. Insgesamt sind also die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

: <math>
y(t) = H^{-1}(G(t)) = \arccos(-t + C), \quad C \in \mathbb{R}.
</math>

Zu beachten ist hier, dass diese Lösung nur sinnvoll definiert ist, wenn {{math|-1 \le -t+C \le 1}} gilt, was eine Bedingung an {{math|t}} darstellt.

Außerdem können wir uns durch Ableiten von {{math|y}} von der Richtigkeit der Lösung überzeugen. Dabei kann
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Faktlink
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Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt
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verwendet werden, um die Ableitung von {{math|\arccos}} zu bestimmen.

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